Задача №1.
Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области ABC:
где S – площадь треугольника ABC.
Определить плотности случайных величин X и Y, математические ожидания M(X) и M(Y), дисперсии D(X) и D(Y), а также коэффициент корреляции . Являются ли случайные величины X и Y независимыми?
Решение.
Разделим область ABC на две равные части вдоль оси OX, тогда из условия
или
следует, что
Тогда плотность двумерной случайной величины (X,Y):
Вычислим плотность составляющей X:
при ,
откуда плотность составляющей X –
Вычислим плотность составляющей Y:
при ,
при ,
Поэтому плотность составляющей Y –
Найдем условную плотность составляющей X:
при , случайные величины X и Y зависимы.
Найдем математическое ожидание случайной величины X:
Найдем дисперсию случайной величины X:
Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины X:
Найдем математическое ожидание случайной величины Y:
Найдем дисперсию случайной величины Y:
Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:
Найдем математическое ожидание двумерной случайной величины (X,Y):
Тогда ковариация: ,
а значит и коэффициент корреляции
Следовательно, случайные величины X и Y - зависимые, но некоррелированные.
Задача №2
Двумерная случайная величина (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей:
Y X 3 6 8 9 -0,2 0,035 0,029 0,048 0,049 0,1 0,083 0,107 0,093 0,106 0,3 0,095 0,118 0,129 0,108
Найти коэффициент корреляции между составляющими X и Y.
Решение.
Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины X:
X 3 6 8 9
0,213 0,254 0,270 0,263
Проверка: + + + = 0,213 + 0,254 + 0,270 + 0,263 = 1.
Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины Y:
Y -0,2 0,1 0,3
0,161 0,389 0,450
Проверка: + + = 0,161 + 0,389 + 0,450 = 1.
Вычислим числовые характеристики случайных величин X и Y.
1. Математическое ожидание случайной величины X:
2.
Математическое ожидание случайной величины Y:
3. Дисперсия случайной величины X:
4. Дисперсия случайной величины Y:
5. Среднеквадратическое отклонение случайной величины X:
6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:
Таблица распределения вероятностей случайной величины X-M(X):
X-M(X) 3-M(X) 6-M(X) 8-M(X) 9-M(X)
0,213 0,254 0,270 0,263
Таблица распределения вероятностей случайной величины Y-M(Y):
Y-M(Y) -0,2-M(Y) 0,1-M(Y) 0,3-M(Y)
0,161 0,389 0,450
Таблица распределения вероятностей случайной величины [X-M(X)][Y-M(Y)]:
[X-M(X)][Y-M(Y)] 1,260873 0,153873 P 0,035 0,083 -0,584127 0,235773 0,028773 -0,109227 -0,447627 0,095 0,029 0,107 0,118 0,048 -0,054627 0,207373 -0,789327 -0,096327 0,365673 0,093 0,129 0,049 0,106 0,108
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Найдем ковариацию:
Найдем коэффициент корреляции:
Ответ: -0,028.
Задача №3
Рост, см
(X)
Вес, кг (Y) 22,5-25,5 25,5-28,5 28,5-31,5 31,5-34,5 34,5-37,5 117,5-122,5 1 3 - - - 122,5-127,5 - 2 6 1 - 127,5-132,5 - 1 5 5 - 132,5-137,5 - 1 6 7 2 137,5-142,5 - - 1 4 2 142,5-147,5 - - - 1 1 147,5-152,5 - - - - 1
Результаты обследования 50 учеников:
По данным таблицы требуется:
- написать выборочные уравнения прямых регрессии Y на X и X на Y;
- вычертить их графики и определить угол между ними;
- по величине угла между прямыми регрессии сделать заключение о величине связи между X и Y.
Решение.
Принимая рост всех учеников, попавших в данный интервал, равным середине этого интервала, а вес – равным середине соответствующего интервала, получим так называемую корреляционную таблицу:
Для роста X получим:
1. ............
