Числові характеристики системи випадкових величин та їх граничні теореми

1. Кореляційний момент, коефіцієнт кореляції

Кореляційним моментом (коваріацією) випадкових величин  і  називається математичне сподівання добутку відповідних ним центрованих величин:

 . (1)

Властивості коваріації:

1.

2.

3.

Перші дві з них очевидні, остання доводиться також легко:

Коефіцієнтом кореляції називається кореляційний момент нормованої випадкової величини:

Теорема. Для будь-яких випадкових величин ,  коефіцієнт кореляції  причому знак рівності можливий тоді і тільки тоді, коли  і  з імовірністю 1 пов'язані лінійно.

Доведення. Обчислимо дисперсію лінійної комбінації випадкових величин  і  з довільним коефіцієнтом  та врахуємо, що з властивостей дисперсії вона є невід'ємною.

При цьому отримаємо невід’ємну квадратичну форму відносно змінної  з невід’ємним коефіцієнтом при .

Це можливо лише за умови, що її дискримінант . З урахуванням визначення (1) цю нерівність можна переписати у вигляді:

або

або мовою середніх квадратичних відхилень випадкових величин

.

Тобто

Доведемо тепер другу частину теореми:  тоді і тільки тоді, коли  і  з імовірністю 1 пов'язані лінійно.

Необхідність:

Достатність:

, , ,

, .

Випадкові величини x,h називаються некорельованими, якщо їх коваріація дорівнює нулю. Якщо випадкові величини x, h незалежні, то вони некорельовані.

.

Зворотне твердження, взагалі кажучи, не має місця.

Наприклад,

.

.

Для опису зв'язків, що існують між проекціями випадкового вектора (x,h), крім коваріації  можна використовувати числові характеристики умовних законів розподілу , .

Умовним середнім значенням  і умовною дисперсією  випадкової величини x за умови h =y називаються величини:

,

.

Аналогічно визначаються характеристики  і .

Для опису випадкового вектора також вводять початкові і центральні моменти:

, .

2. Комплексна випадкова величина, характеристичні функції

Комплексна випадкова величина, що вводиться за формулою , є іншим способом опису випадкового вектора (,).

Випадкові величини  і  називаються незалежними, якщо незалежними є випадкові вектори (,) і (,).

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Характеристичною функцією випадкової величини  називається середнє значення виразу .

.

Функцію  називають також характеристичною функцією відповідного закону розподілу:

 (2)

Як видно з (2), характеристична функція  є перетворенням Фур'є відповідної їй щільності імовірності:

Властивість 1. При додаванні незалежних випадкових величин їхні характеристичні функції перемножуються.

Властивість 2. Розкладання характеристичної функції в ряд за ступенями  дозволяє знайти всі моменти , , ,…випадкової величини .

3. Види збіжності випадкових величин

Послідовність випадкових величин x1, x2…називається такою, що збігається з випадковою величиною x в розумінні середнього квадратичного, якщо границя математичного сподівання квадрата абсолютного значення відхилення  від  прямує до нуля за умови, що , тобто

.

Величина x називається ще СК границею послідовності {xn}.

 чи .

Оскільки

,

СК збіжність рівносильна виконанню умов:

.

Послідовність випадкових величин  збігається з випадковою величиною  при  за імовірністю, якщо для кожного будь-якого e>0

,

.

Збіжність послідовності  до випадкової величини  за ймовірністю символічно позначається таким чином:

.

Для будь-якої випадкової величини  при будь-якому e>0

.

.

Наслідок.

Зі збіжності у СК випливає збіжність за ймовірністю.

4. ............