Три задачи по теории чисел

Задача 1

Утверждение 1

Пусть р1, р2 и р3 являются ненулевыми рациональными числами, причем р1 + р2 = р3. Тогда произведение р1* р2 * р3 не является точным кубом никакого (отличного от нуля) рационального числа, то есть р1* р2 * р3 ≠ R3, где R – некоторое рациональное число (R ≠ 0).

Доказательство

Положим

 и

Очевидно, что а (а≠0) и b - рациональные числа, так как рациональными являются числа р1 и р2 .

(Если а=0, т.е. р1 = - р2, то р1 + р2 = р3 = 0, что противоречит нашему утверждению (р3 0).

Если b=0, т.е. р1 = р2, то р3 = 2 р1  р1* р2 * р3 = р1* р1 * 2р1 =2р, т.е.  р1* р2 * р3 = 2р≠ R3 и противоречие с нашим утверждением отсутствует.)  

Тогда имеем:

Теперь нетрудно выразить старые переменные через новые:

(1)

Таким образом, замена р1 и р2 на a и b является обратимой (число Р3 в обоих случаях является зависимой переменной).

Предположим теперь, что Утверждение 1 неверно, и число является точным кубом (R3) некоторого рационального числа R (R ≠ 0) .

Обозначим  (2), где r0, т.к. при r = 0 либо р1=0,  либо р2=0, либо р3=0.

где q0 (пояснение ниже).

Числа r и q являются рациональными числами, если рациональны числа a и b. Далее имеем:

Пояснение

При q=0 , где r00 - рациональное число (т.к. r0).

Из (2) следует , откуда R не является рациональным числом, что противоречит условию. Следовательно, q0.

Отсюда число  является кубом некоторого ненулевого рационального числа , обозначим это число через  (3), где С0 (С > 0).

Обозначим: , тогда:

(с учетом (2) и (3))                                                (4)

Так как r, q – рациональные числа, то и числа A, B, (CR) -также рациональны числа.

Но тогда они будут рациональными решениями уравнения Ферма 3й степени, которое, как хорошо известно, неразрешимо в рациональных числах. Полученное противоречие доказывает наше утверждение.

Примечание. А если А = 0, или В = 0? Ведь в этом случае могут, наверно, появиться и ненулевые рациональные числа р1, р2, р3, R, удовлетворяющие условию нашего Утверждения! Покажем, что они не появятся.

Если В = r – q = 0, то r = q.

Отсюда, учитывая

имеем   ) = 0

откуда следует не только из

 r = q (что ожидаемо), но и r = 0  r = q = 0  R=0, что противоречит условию нашего «Утверждения», ч.т.д.

Для А = r + q = 0 рассуждения аналогичные.

Теперь сформулируем некоторое обобщение нашего Утверждения 1 на рациональные функции. Напомним, что рациональной функцией называется выражение вида , где p(x) и q(x) – некоторые многочлены. Заметим, что и многочлены и даже числа являются частным случаем рациональных функций при соответствующем выборе коэффициентов многочленов p(x) и q(x).

Утверждение 2

Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами, причём  для всех x. Тогда функция  ни в одной рациональной точке x не является кубом никакого (отличного от нуля) рационального числа, то есть
либо , где R – рациональное число (R ≠ 0);
либо , где R(x) – рациональная функция, которая при каждом фиксированном рациональном x является рациональным числом.

Доказательство

Действительно, при каждом фиксированном рациональном x мы получаем утверждение для рациональных чисел, которое сформулировано в предыдущем Утверждении 1, что и требовалось доказать.

Утверждение 3

Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами от нескольких переменных x, y, z,…, причем  для всех x, y, z,….

Тогда функция  ни в одной из рациональных точек x, y, z,… не является кубом никакого (отличного от нуля) рационального числа, то есть либо:

где R - рациональное число (R ≠ 0);

либо

где R(x,y,z,…) – рациональная функция, которая при каждом фиксированном рациональном x, y, z,… является рациональным числом.

Доказательство

Действительно, при каждом фиксированном рациональном x, y, z,… мы получаем утверждение для рациональных чисел, то есть Утверждение 1, что и требовалось доказать.

Где и как можно использовать вышеприведенные утверждения?

Для анализа неразрешимости некоторых уравнений в рациональных числах практически по внешнему виду.

Примеры:

1.   - куб рациональной функции R(x) = 3x2, которая при рациональном x является рациональным числом. Следовательно, уравнение  неразрешимо в рациональных числах.

2.   - куб рациональной функции R(x) = неразрешимо в рациональных числах.

3.   - куб рационального числа 3, отсюда  неразрешимо в рациональных числах

4.   - куб рациональной функции R(x,y) =  не разрешимо в рациональных числах

5.   - куб рациональной функции R(x) = х37 => уравнение не разрешимо в рациональных числах.

Следовательно, система уравнений  неразрешима в ненулевых рациональных числах x, y, z , где R – рациональное число (R≠0).

Задача 2

Утверждение 1

Пусть р1, р2, р3 и р4 являются рациональными ненулевыми числами, причем  (1). ............