КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Решение задач по высшей математике
Задача 1
Вычислить определители:
;
.
Решение
,
Задача 2
Вычислить определитель:
.
Решение
Используя теорему Лапласа, разложим определитель по элементам третьего столбца
.
Задача 3
Найти матрицу, обратную к матрице .
Решение
Находим определитель матрицы и все алгебраические дополнения :
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Ответ: Обратная матрица имеет вид:
.
Задача 4
С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы
.
Решение
Прибавляя к последней строке учетверенную вторую строку и сокращая затем последнюю строку на , а после этого складывая последний столбец со вторым и третьим последовательно, получим
.
Знак ~ обозначает, что матрицы получены одна из другой с помощью элементарных преобразований и их ранги равны. Сокращая второй столбец на два и вычитая первый столбец со всех остальных столбцов, а затем вычитая последнюю строку из первой и меняя местами столбцы, получаем
.
Ответ: Ранг матрицы равен двум.
Задача 5
Решить следующую систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера:
;
Решение
Вычислим главный определитель системы и вспомогательные определители , ,.
.
;
;
.
По формуле Крамера, получим
;
; .
Задача 6
Исследовать на совместность систему линейных алгебраических уравнений и, в случае положительного ответа, найти её решение.
Решение
Матрица и имеют вид
,
.
Их ранги равны . Система совместна. Выделим следующую подсистему
Считая и известными, решение подсистемы находим по формулам Крамера . Оно имеет вид
; ,
где , - могут принимать произвольные значения. Пусть , где Тогда ответом будет служить множество
Задача 7
Даны начало и конец вектора . Найти вектор и его длину.
Решение
Имеем , откуда или .
Далее , т.е. .
Задача 8
Даны вершины треугольника , и . Найти с точность до угол при вершине .
Решение
Задача сводится к нахождению угла между векторами и :
, ; . Тогда , .
Задача 9
Даны вершины треугольника , и . Вычислить площадь этого треугольника.
Решение
Так как площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е. , то . Найдем векторы и :
; ; .
Вычислим их векторное произведение:
,
,
Откуда
. Следовательно, (кв. ед.).
Задача 10
Даны вершины треугольной пирамиды , , и . Найти ее объем.
Решение
Имеем , и . Найдем векторное произведение
,
.
Этот вектор скалярно умножим на вектор :
.
Это смешанное произведение можно найти непосредственно по приведенной формуле:
.
Следовательно, объем:
, (куб. ............
