Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
    
    Рассмотрим смешанную задачу для волнового уравнения ( ? 2 u/ ? t2) = c 2 * ( ? 2u/ ? x2) (1). Задача состоит в отыскании функции u(x,t) удовлетворяющей данному уравнению при 0 < x < a, 0 < t ? T, начальным условиям u(x,0) = f(x), ? u(x,0)/ ? t = g(x) , 0 ? x ? a и нулевыми краевыми условиями u(0,t) = u(1,t)=0.
    Так как замена переменных t ? ct приводит уравнение (1) к виду ( ? 2 u/ ? t2) = ( ? 2u/ ? x2), то в дальнейшем будем считать с = 1.
    Для построения разностной схемы решения задачи строим в области D = {(x,t) | 0 ? x ? a, 0 ? t ? T } сетку xi = ih, i=0,1 ... n , a = h * n, tj = j* ??? , j = 0,1 ... , m, ? m = T и аппроксимируем уравнение (1) в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне типа "крест".
    
    t
    
    
    T
    
    
    j+1
    j
    
    j-1
    
    
    0 i-1 i i+1
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Используя для аппроксимации частных производных центральные разностные производные, получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (1) .
    
    ui,j+1 - 2uij + ui,j-1 ui+1,,j - 2uij + ui-1, j
    
    ? 2 h2
    
    (4)
    
    
    
    
    
    Здесь uij - приближенное значение функции u(x,t) в узле (xi,tj).
    Полагая, что ? = ? / h , получаем трехслойную разностную схему
    ui,j+1 = 2(1- ? 2 )ui,j + ? 2 (ui+1,j- ui-1,j) - ui,j-1 , i = 1,2 ... n. (5)
    Для простоты в данной лабораторной работе заданы нулевые граничные условия, т.е. ? 1(t) ? 0, ? 2(t) ? 0. Значит, в схеме (5) u0,j= 0, unj=0 для всех j. Схема (5) называется трехслойной на трех временных слоях с номерами j-1, j , j+1. Схема (5) явная, т.е. позволяет в явном виде выразить ui,j через значения u с предыдущих двух слоев.
    Численное решение задачи состоит в вычислении приближенных значений ui,j решения u(x,t) в узлах (xi,tj) при i =1, ... n, j=1,2, ... ,m . Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое ( j = 2,3,4, ... n) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев ( j=0,1,2, ... , n-1) по формуле (5). На нулевом временном слое (j=0) решение известно из начального условия ui0 = f(xi).
    Для вычисления решения на первом слое (j=1) в данной лабораторной работе принят простейший способ, состоящий в том, что если положить ? u(x,0)/ ? t ? ( u( x, ? ) - u(x,0) )/ ? (6) , то ui1=ui0+ + ? (xi), i=1,2, ... n. Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно применять формулу (5). Решение на каждом следующем слое получается пересчетом решений с двух предыдущих слоев по формуле (5).
    Описанная выше схема аппроксимирует задачу с точностью до О( ? +h2). Невысокий порядок аппроксимации по ? объясняется использованием слишком грубой аппроксимации для производной по е в формуле (6).
    Схема устойчива, если выполнено условие Куранта ? < h. Это означает, что малые погрешности, возникающие, например, при вычислении решения на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному слою. ............