Разностные аппроксимации
    
    1.Примеры разностных аппроксимаций.
    Различные способы приближенной замены одномерных дифференциальных уравнений разностными изучались ранее. Напомним примеры разностных аппроксимаций и введем необходимые обозначения. Будем рассматривать равномерную сетку с шагом h, т.е. множество точек
    ?h={xi=ih, i=0, ?1, ?2,...}.
    Пусть u(x) - достаточно гладкая функция, заданная на отрезке [xi-1, xi+1]. Обозначим
    
    Разностные отношения
    
    
    называются соответственно правой, левой и центральной разностными производными функции u(x) в точке xi , т.е. при фиксированном xi и при h?0 (тем самым при i??) пределом этих отношений является u'(xi). Проводя разложение по формуле Тейлора, получим
    
    ux,i - u'(xi) = 0,5hu''(xi) + O(h2),
    ux,i - u'(xi) = -0,5hu''(xi) + O(h2),
    ux,i - u'(xi) = O(h2),
    
    Отсюда видно, что левая и правая разностные производные аппроксимируют u'(x) с первым порядком по h, а центральная разностная производная - со вторым порядком. Нетрудно показать, что вторая разностная производная
    
    аппроксимирует u''(xi) со вторым порядком по h, причем справедливо разложение
    
    Рассмотрим дифференциальное выражение
    
    (1)
    
    с переменным коэффициентом k(x). Заменим выражение (1) разностным отношением
    
     (2)
    
    где a=a(x) - функция, определенная на сетке ?h. Найдем условия, которым должна удовлетворять функция a(x) для того, чтобы отношение (aux)x,i аппроксимировало (ku')' в точке xi со вторым порядком по h. Подставляя в (2) разложения
    
    где ui' = u'(xi), получим
    
    С другой стороны, Lu = (ku')' = ku'' + k'u',
    т.е.
    
    Отсюда видно, что Lhu-Lu = O(h2), если выполнены условия
    
    (3)
    
    Условия (3) называются достаточными условиями второго порядка аппроксимации. При их выводе предполагалось, что функция u(x) имеет непрерывную четвертую производную и k(x) - дифференцируемая функция. Нетрудно показать, что условиям (3) удовлетворяют, например, следующие функции:
    
    Заметим, что если положить ai = k(xi), то получим только первый порядок аппроксимации.
    В качестве следующего примера рассмотрим разностную аппроксимацию оператора Лапласа
    
    (4)
    
    Введем на плоскости (x1, x2) прямоугольную сетку с шагом h1 по направлению x1 и с шагом h2 по направлению x2, т.е. множество точек
    
    ?h = {(xi1, xj2) | xi1 = ih1, xj2 = jh2; i, j = 0, ?1, ?2,...},
    
    и обозначим
    
    Из предыдущих рассуждений следует, что разностное выражение
    
    (5)
    
    аппроксимирует дифференциальное выражение (4) со вторым порядком, т.е. Lhuij - Lu(xi1, xj2) = O(h21) + O(h22). Более того, для функций u(x1, x2), обладающих непрерывными шестыми производными, справедливо разложение
    
    
    
    Разностное выражение (5) называется пятиточечным разностным оператором Лапласа, так как оно содержит значения функции u(x1, x2) в пяти точках сетки, а именно в точках (x1i, x2j), (x1i?1, x2j), (x1i, x2 j?1). ............