Кировский Физико-математический лицей Реферат на тему ''Свойства равногранного тетраэдра'' Выполнил : ученик 10 ''А'' класса Соболев Александр
    Проверила : Прокашева Маргарита Анатольевна Киров 2003 г. У любого тетраэдра 4 вершины, 6 рёбер, 4 грани, 4 трёхгранных угла, 6 двугранных углов, 12 плоских углов. Если все 6 рёбер равны, то равными будут и грани, и трёхгранные углы, и плоские; в этом случае тетраэдр - правильный. Из равенства всех 4 граней, однако, ещё не следует правильность тетраэдра; тетраэдр, у которого все грани равны, называется равногранным. Чтобы представить себе равногранный тетраэдр, отличный от правильного, возьмём произвольный остроугольный треугольник из бумаги и будем сгибать его по средним линиям. Тогда три вершины сойдутся в одну точку, а половинки сторон сомкнутся, образуя боковые рёбра тетраэдра (рис. 2).
    Перечислим теперь свойства тетраэдра, каждое из которых является необходимым и достаточным условием равногранности, включая определение:
    (0) Грани равны.
    (1) Скрещивающиеся рёбра попарно равны (2) Трёхгранные углы равны.
    (3) Противолежащие двугранные углы равны.
    (4) Два плоских угла, опирающиеся на одно ребро, равны.
    (5) Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180.
    (6) Развёртка тетраэдра - треугольник или параллелограмм
    (7) Описанный параллелепипед - прямоугольный.
    (8) Тетраэдр имеет три оси симметрии.
    (9) Общие перпендикуляры скрещивающихся рёбер попарно перпендикулярны.
    (10) Средние линии попарно перпендикулярны.
    (11) Периметры граней равны.
    (12) Площади граней равны.
    (13) Высоты (тетраэдра) равны. 19=>18
    (14) Отрезки, соединяющие вершины с центром тяжести пртивоположных граней, равны.
    (15) Радиусы описанных около граней окружностей равны.
    (16) Центр тяжести (тетраэдра) совпадает с центром описанной сферы.
    (17) Центр тяжести (тетраэдра) совпадает с центром вписанной сферы.
    (18) Центр вписанной сферы совпадает с центром описанной.
    (19) Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около них окружностей.
    (20) Сумма внешних единичных векторов, перпендикулярных к граням, равна 0 (рис. 4).
    (21) Сумма косинусов всех двугранных углов равна 2.
    Все перечисленные условия являются одновременно и свойствами и признаками равногранного тетраэдра. Чтобы вывести равногранность из какого-нибудь условия, надо выстроить целую цепочку промежуточных условий, в которой каждое прямое следствие предыдущего.
    Проще всего устанавливается, что (0)(1)(2)(3)(4). Докажем (0)(1). * (0)=>(1). Все грани тетраэдра АВСD равны по условию. Рассмотрим треугольники АDВ и DАС: АD - общая, тогда АВ равна либо DС (если так, то из равенства треугольников АDВ и DАС следует АС=DВ; а из равенства треугольников АDВ и СВD следует АD=ВС, т.е. скрещивающиеся рёбра попарно равны), либо АС (если так, то из равенства треугольников АDВ и DАС следует DВ=DС, т.е. треугольник - равнобедренный, а остальные - нет, т.е. противоречие) * (0)(2). Из (1) следует, что треугольники АВD, СDВ, ВАС (рис.1) равны (доказано выше). Тогда равны и соответствующие углы треугольников, т.е. ............