Применение подобия к решению задач Бычек В.И., доцент кафедры геометрии ХГПУ
    Обучение решению задач является одним из основных элементов математического образования. Вместе с тем - это наиболее трудный вид деятельности и для учеников, и для учителей. В статье рассматривается эффективный метод решения геометрических задач - метод подобия. Освоение этого метода весьма полезно для учителя математики.
    Рассмотрим применение подобия плоскости, в частности гомотетии, при решении задач элементарной геометрии.
    Преобразование плоскости называется подобием, если существует такое число k?0, что для любых точек А и В и их образов А1 и В1 выполняется равенство А1В1=kАВ. Число k называется коэффициентом подобия.
    Преобразование плоскости называется гомотетией с центром М0 и коэффициентом k?о, если каждой точке М плоскости ставится в соответствие точка М1 так, что М0М1=kМ0М. При k?0 гомотетия называется положительной, а при k?0 - отрицательной. Гомотетия с коэффициентом k является подобие с коэффициентом подобия |k|. Из определения гомотетии следует, что точка и ее образ в данной гомотетии лежат на одной прямой с центром гомотетии.
    При решении задач чаще всего используется гомотетия. Отметим ее основные свойства. Так всякая гомотетия с коэффициентом k?1 переводит прямую , не проходящую через центр гомотетии, в параллельную ей прямую, а прямую, проходящую через центр гомотетии - в себя. Гомотетия переводит отрезок в отрезок, середину отрезка - в середину отрезка, луч - в луч, полуплоскость - в полуплоскость, угол - в равный ему угол, перпендикулярные прямые - в перпендикулярные прямые.
    Задача 1.
    Доказать, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей и точку пересечения прямых, соединяющих боковые стороны.
    Решение. Пусть дана трапеция АВСД, у которой АВ//СД, АВ?СД, О=АС?ВД, Р=АД?СВ; М, Н - середины оснований АВ и СД (рис. 1.). Надо доказать, что точки О и Р лежат на прямой МН. Рассмотрим сначала гомотетию с центром в точке О и коэффициентом k1=-ДС:АВ. Н0k1:А?С, В?Д. Значит Н0k1:АВ?СД. Тогда Н0k1:М?Н. Следовательно, точка О принадлежит прямой МН. Затем рассмотрим гомотетию с центром в точке Р и коэффициентом k2=ДС:АВ. Нpk2:А?Д, В?С. Значит Нpk2:АВ?СД. Тогда Нpk2:М?Н. Следовательно, точка Р принадлежит прямой МН.
    Задача 2. Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и его длина равна полуразности длин оснований.
    Решение. Пусть дана трапеция АВСД, у которой АД//СВ, АД?СВ; М, Н - середины диагоналей АС и ВД (рис. 2). Проведем прямую СН до пересечения с АД в точке Н1. Тогда тр-к ВСН = тр-ку ДН1Н так как ВН=НД, ?СНВ=?Н1НД, ?СВН=?Н1ДН. Отсюда следует, что СН=НН1, Н1Д=ВС. Рассмотрим гомотетию с центром в точке С и коэффициентом k=2. Нс2:М?А, Н?Н1. Значит Нс2:МН?АН1. Следовательно, МН//АН1. Тогда МН//АД//ВС и МН=1/2АН1=1/2(АД-Н1Д)=1/2(АД-ВС).
    Задача 3. Доказать, что в треугольнике точка пересечения медиан, центр окружности, описанной около треугольника, и ортоцентр лежат на одной прямой.
    Решение. Пусть дан треугольник АВС, у которого М - точка пересечения медиан, Р - центр окружности, описанной около треугольника, Н - ортоцентр, т.е. Н - точка пересечения высот треугольника (рис. ............