ПОВЕРХНЕВІ ІНТЕГРАЛИ
1. Поверхневі інтеграли першого роду
Поверхневі інтеграли першого роду є узагальненням подвійних інтегралів.
Нехай у точках деякої кусково-гладкої поверхні визначена обмежена функція . (Поверхня називається гладкою, якщо в кожній її точці існує дотична площина і при переході від точки до точки положення цієї дотичної площини змінюється неперервно. Поверхня, яка складається із скінченного числа неперервно з’єднаних гладких поверхонь, називається кусково-гладкою.) Розіб'ємо поверхню на довільних частин без спільних внутрішніх точок (рис. 1); нехай – площа, а – діаметр частини поверхні . У кожній частині виберемо довільну точку і складемо суму
.(1)
Рисунок 1 – Поверхня
Цю суму називають інтегральною сумою для функції по поверхні .
Якщо при інтегральні суми (1) мають скінченну межу, яка не залежить ні від способу розбиття поверхні , ні від вибору точок , цю границю називають поверхневим інтегралом першого роду від функції по поверхні і позначають .
Таким чином, за означенням
.(2)
У цьому разі функція називається інтегровною по поверхні , а поверхня – областю інтегрування.
Якщо функція неперервна на поверхні , то вона інтегровна по .
Обчислення поверхневого інтеграла першого роду зводиться до обчислення подвійного інтеграла.
Нехай гладка поверхня , задана рівнянням , проектується на площину в область . Припустимо, що функція неперервна на поверхні , а функції неперервні в області .
Внаслідок розбиття поверхні на частини область розіб'ється на частини , які є відповідними проекціями частин на площину (рис. 2).
Рисунок 2 – Розбиття поверхні на частини
Якщо – площа області , – площа поверхні , то
,
тому інтегральну суму (1) можна записати у вигляді
.(3)
Права частина цієї рівності є інтегральною сумою для функції
,
тому з рівностей (2) і (3) випливає, що
.(4)
Формула (4) виражає поверхневий інтеграл першого роду через подвійний інтеграл по проекції поверхні на площину .
Аналогічно можна отримати формули, що виражають інтеграл по поверхні через подвійні інтеграли по її проекціях на площини та . Якщо поверхня задається рівнянням або , то
,
де та – проекції поверхні на координатні площини та відповідно.
Якщо у формулі (2) покласти на поверхні , то отримаємо
,(5)
де – площа поверхні , тобто за допомогою поверхневого інтеграла першого роду можна обчислювати площі поверхонь.
Крім того, поверхневі інтеграли першого роду застосовують при обчисленні маси, координат центра маси, моменту інерції матеріальної поверхні з відомою поверхневою густиною розподілу маси. Виведення відповідних формул по суті не відрізняється від виводу аналогічних формул для матеріальної пластинки.
Якщо на кусково-гладкій поверхні розподілено масу з поверхневою густиною , то:
а) маса матеріальної поверхні
;
б) координати центра маси поверхні:
,
де – статичні моменти поверхні відносно осей ;
в) моменти інерції поверхні відносно осей координат і початку координат:
2. Поверхневі інтеграли другого роду
Введемо поняття сторони поверхні. ............