Юридический техникум Рассмотрено и одобрено ПЦК
    г. Кропоткин программирования Председатель ПЦК Покалицына О.В. План чтения лекции по учебной дисциплине "Математические методы" Раздел № 2. Линейное программирование. Тема № 2.2. Основная задача линейного программирования. Занятие №
    Место проведения: аудитория. Литература: 1. Венцель Е.С. Исследование операций. Задач, принципы, методология. - М.: Наука, 1980. 2. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. - М.:ЮНИТИДАНА, 2001 Учебные вопросы и расчет времени №п/п Учебные вопросы Время, мин Методические указания 1. 2. Основная задача ЛП (ОЗЛП). Существование решения. 1. Вводная часть. Организационный момент. План занятия. Основные требования. 2. Основная часть. 1. Основная задача ЛП (ОЗЛП). Любую задачу линейного программирования можно свести к стандартной форме, так называемой "основной задаче линейного программирования" (ОЗЛП), которая формируется так: найти неотрицательные значения переменные x1, x2, ..., xn, которые удовлетворяли бы условиям - равенствам: a11 x1 + a12 x2 + ... +a1n xn = b1, a21 x1 + a22 x2 + ... +a2n xn = b2, (6.1.) ...................................... am1 x1 +am2 x2 + ... +amn xn = bm. и обращали бы в максимум линейную функцию этих переменных: (6.2.) Случай, когда L надо обратить не в максимум, а в минимум, легко сводится к простому: изменить знак L на обратный (максимизировать не L, а L`=-L). Кроме того, от любых условий - неравенств можно перейти к условиям - равенствам ценой введения некоторых новых "дополнительных" переменных. Пусть требуется найти неотрицательные значения переменных x1,x2,x3, удовлетворяющие ограничениям - неравенствам (6.3.) и обращающие в максимум линейную функцию от этих переменных: (6.4.) Начнём с того, что приведём условия (6.3.) к стандартной форме, так, чтобы знак неравенства был ?, а справа стоял нуль. Получим: (6.5.) А теперь обозначим левые части неравенств (6.5.) соответственно через y1 и y2: (6.6.) Из условий (6.5.) и (6.6.) видно, что новые переменные y1, y2 также должны быть неотрицательными. Какая же теперь перед нами стоит задача? Найти неотрицательные значения переменных x1,x2,x3,y1,y2 такие, чтобы они удовлетворяли условиям - равенствам (6.6.) и обращали в максимум линейную функцию этих переменных (то, что в L не входит дополнительные переменные y1, y2, неважно: можно считать, что они входят, но с нулевыми коэффициентами). Перед нами - основная задача линейного программирования (ОЗЛП). Переход к ней от первоначальной задачи с ограничениями - неравенствами (6.3.) "куплен" ценой увеличения числа переменных на два (число неравенств). 2. Существование решения ОЗЛП и способы его нахождения. Рассмотрим основную задачу линейного программирования (ОЗЛП): найти неотрицательные значения переменных x1, x2, ..., xn, удовлетворяющие m условиям - равенствам: a11 x1+a12 x2+...+a1n xn=b1, a21 x1+a22 x2+...+a2n xn=b2, (7.1.) ................................. am1 x1+am2 x2+...+amn xn=bm и обращающие в максимум линейную функцию этих переменных: (7.2.) Для простоты предположим, что все условия (7.1.) линейно независимы (r=m), и будем вести рассуждения в этом предположении. Назовём ДОПУСТИМЫМ решением ОЗЛП всякую совокупность неотрицательных значений x1, x2, ..., xn, удовлетворяющую условиям (7.1.). ОПТИМАЛЬНЫМ назовём то из допустимых решений, которое обращает в максимум функцию (7.2.). ............