О курсе "Элементы теории Галуа"
    Меньшикова Е.А., Шендеровский В.Г.
    Всем, кто учился в средней школе, приходилось решать алгебраические уравнения, т.е. уравнения вида
    anxn+an-1xn-1+...+a0=0,
    где an, an-1,..., a0-некоторые числа.
    Изучение уравнений начинается во втором классе с решения уравнений первой степени (линейных):
    ax+b=0.
    В восьмом классе переходят к квадратным уравнениям, знакомятся с формулами корней квадратного уравнения. В школьном курсе математики редко встречаются уравнения третьей, четвертой и более высоких степеней. Как правило, их решают сведением к линейным и квадратным уравнениям. Вероятно, многие задавались вопросом: "Существуют ли столь же простые, как и для квадратного уравнения, или чуть более сложные формулы вычисления корней уравнения более высоких степеней?"
    Уже несколько лет на нашем факультете читается курс "Элементы теории групп и теории Галуа" (разработанный одним из авторов статьи), в рамках которого и дается ответ на этот вопрос.
    1. О целесообразности курса
    Естественно, возникает вопрос: "А зачем вести курс, который не входит в программу педагогического университета?" Мы приведем ряд аргументов, доказывающих, на наш взгляд, целесообразность чтения такого курса.
    Преподавание любого предмета (математики в особенности) предполагает элементы исследовательской деятельности. При этом можно указать следующие направления для исследований: поиск эффективных частных методик, создание новых учебников, подготовка школьников к олимпиадам. Необходимость уделять большое внимание выработке навыков научного исследования внутри математики вытекает из закона психологии о переносе навыков. Возникнув сначала внутри математики, навыки исследовательской деятельности будут перенесены в профессиональную сферу. В силу этого важно пробудить у будущего учителя математики интерес к предмету, привить ему навыки самостоятельной творческой работы, развить умение решать нестандартные задачи и проблемы.
    В рамках данного курса рассматривается большое количество как задач на вычисления, так и теоретических задач. Студенты имеют широкие возможности испытать собственные силы в решении теоретических задач разного уровня сложности: от задач "на определение" до задач, решение которых требует использования комплекса результатов теорем, других задач, разного рода технических приемов и немалой доли математической фантазии. Безусловно, далеко не все предлагаемые задачи по плечу "среднему" и даже "хорошему" (в общепринятом смысле этого слова) студенту, и существует опасность не только не развить интерес к математике, но и прийти к противоположному результату.
    Избежать этого можно, разумно дозируя сложность задач, сочетая индивидуальный подход, когда студентам разных способностей предлагаются для самостоятельного решения (исследования) задачи соответствующего уровня, с коллективным обсуждением достаточно серьезных проблем, когда выслушиваются и обсуждаются все предлагаемые идеи решения, и когда преподаватель играет незаметную роль наблюдателя и лишь иногда вопросами или замечаниями пытается интенсифицировать или изменить ход обсуждения. Можно привести конкретные результаты, полученные за несколько лет преподавания данного курса одним из авторов (Шендеровский В.Г.) Здесь и многообразие идей (зачастую неожиданных) решения некоторых задач, и расширение списка упражнений за счет сконструированных, сформулированных новых задач в процессе решения других проблем. ............