Академия труда и социальных отношений
Курганский филиал
Социально-экономический факультет
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине: «Общий курс высшей математики»
Студент гр. ЗМб 1338
Ст. преподаватель
Курган – 2009
Задание 03
В ромбе ABCD известны координаты вершин А и С и тангенс внутреннего угла С. Найти уравнения диагоналей и сторон, координаты двух других вершин, а также площадь этого ромба, если А(4,2), С(16;18), . Сделать чертеж.
Решение:
Зная координаты вершин А и С запишем уравнение диагонали АС как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
12(y-2)=16(x-4);
12y-24=16х-64
16х-12у-40=0 /:4
4х-3у-10=0 – уравнение диагонали А С в форме общего уравнения прямой.
Перепишем это уравнение в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом:
-3y=-10-4х;
3y=4x-10;
y= откуда k А С=
Так как в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, то угловой коэффициент диагонали BD будет равен
КВD =
Само же уравнение диагонали BD найдем как уравнение прямой, проходящей через заданную точку в направлении, определяемом угловым коэффициентом КBD.
В качестве «заданной точки» возьмем точку Е пересечения диагоналей ромба, которая лежит на середине отрезка АС, вследствие чего:
Е (10;10)
Итак, уравнение диагонали BD запишем в виде
у – yE= КВD (x-xE)
y-10= (x-10);
y-10=x+ / 4
4у-40=-3х+30
3х+4у-70=0 – уравнение диагонали BD
Чтобы найти уравнение сторон ромба, надо определить только угловые коэффициенты КАВ = КCD и КВС = КAD прямых, на которых эти стороны лежат, ибо точки, через которые эти прямые проходят, известны – это вершины А и С ромба.
Для определения указанных угловых коэффициентов воспользуемся формулой , позволяющей вычислять тангенс угла φ между двумя заданными прямыми по их угловым коэффициентам К1 и К2; при этом угол φ отсчитывается против часовой стрелки от прямой у = К1х + b1 до прямой у = К2х + b2. Формула оказывается удобной, потому что уравнение диагонали АС уже найдено (и, следовательно, известен ее угловой коэффициент КАС), а положение сторон ромба относительно этой диагонали однозначно определяется внутренними углами А и С, которые равны между собой и для которых по условию известен их тангенс ().
Так диагонали ромба делят его углы пополам, то, положив из формулы для тангенса двойного угла при найдем tg φ:
Положим z = tg φ; тогда , тогда
15 2z = 8 (1-z2)
30z=8-8z2
8z2+30z-8=0 /:2
4z2+15z-4=0
D=152-4 4 (-4)= 225+64=289
z1=;
z2=
Но т.к. угол в ромбе φ всегда острый корень z2=-4 отбрасываем и получаем в итоге, что tg φ =
Угол φ является углом между прямыми ВС и АС, с одной стороны, и прямыми АС и CD – с другой (см. чертеж).
Потому в первом случае по формуле имеем
откуда при то получим
4()=1+;
= /3
16-12 KBC=3+4KBC;
16 KBC=13;
KBC=
Во втором случае по формуле имеем =;
При КАС = получим:
;
4(KcD-)=1+KcD;
4KcD-=1+ KcD / 3;
12KcD-16=3+4KcD;
8KcD =19
KcD=
Так как противоположные стороны ромба параллельны, то тем самым мы определили угловые коэффициенты всех его сторон.
КCD = KAB = ;
KBC = KAD = .
Зная теперь эти угловые коэффициенты и координаты вершин А и С, по уже использовавшимся выше формулам найдем уравнения прямых АВ, CD, BC и AD.
Уравнение АВ: у – уA = KA B (х – хA),
у -2 = (х-4) /8;
8у-16=19х-76;
19 х-8 у-60=0.
Уравнение CD: у – уC= КCD(х – xC)
у -18= ( х-16) / 8;
8у -144=19х-304;
19 х-8 у-160=0.
Уравнение ВС: у – уC= КBC ( х xC);
у -18=( х - 16);
у - 18= х – 13 / 16;
16у -288 = 13х - 208;
13х -16 у +80=0
Уравнение AD: у – уA = КAD( х -xA);
у -2=( х -4);
у -2= х - /16;
16у -32= 13х-52;
13х-16у-20=0
Вершины ромба являются точками пересечения его соответствующих сторон. ............
