1. Метод Лобачевского-Греффе розв’язання рівнянь (випадок дійсних коренів)
1.1 Загальні властивості алгебраїчних рівнянь
Розглянемо алгебраїчне рівняння n-ного ступеню (n≥1)
, (1)
де коефіцієнти a0, a1, … , an – дійсні числа, причому a0≠0.
В загальному випадку вважатимемо перемінну x вважатимемо комплексною.
Головна теорема алгебри. Алгебраїчне рівняння n-ного ступеню (1) має рівно n коренів, дійсних або комплексних, при умові, що кожен корінь рахується стільки разів, яка його кратність.
При цьому кажуть, що корінь ξ рівняння (1) має кратність s, якщо
,
. (символи над P означають похідні)
Комплексні корені рівняння (1) володіють властивістю парної сполученості.
Теорема. Якщо коефіцієнти алгебраїчного рівняння (1) – дійсні, то комплексні корені цього рівняння попарно комплексно-сполучені, тобто якщо
(α, β – дійсні) є коренем рівняння (1) кратності s, то число
також є коренем цього рівняння та має ту ж кратність s.
Відзначимо, що модулі цих коренів однакові:
.
Якщо x1, x2, … , xn - корені рівняння (1), то для лівої частини його вірний розклад
. (2)
Звідси, роблячи перемноження біномів в формулі (2) і прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях x в лівій та правій частині рівняння (2), отримаємо співвідношення між коренями та коефіцієнтами між коренями та коефіцієнтами рівняння:
(3)
Ліві частини рівняння (3) представляють собою суми сполучень коренів рівняння (1) по одному, по два і т. д. з n.
Приклад. Корені x1, x2, x3 кубічного рівняння
x3+px2+qx+r=0
задовольняють умовам:
Якщо враховувати кратність коренів, то розкладання (2) приймає вигляд
,
де x1, x2, …, xm (m≤n) – різні корені рівняння (1) й α1, α2, ..., αm – їх кратності, причому
α1+ α2+...+ αm=n.
Похідна виражається наступним чином:
,
де Q(x) – поліном такий, що
Q(x)≠0 при k=1, 2, …, m.
Тому поліном
є найбільшим загальним дільником поліному P(x) і його похідної P'(x). Як відомо, поліном R(x) може бути знайдений за допомогою алгоритму Евкліда. Складаючи відношення
,
отримаємо поліном
з дійсними коефіцієнтами A0=a0, A1, …, Am, корені якого x1, x2, …, xm різні.
1.2 Постановка задачі методу
Дано алгебраїчне рівняння n-ного ступеню:
знайти корені рівняння (тобто всі значення змінної x, при яких рівняння вірне).
1.3 Ідея методу
Розглянемо алгебраїчне рівняння n-ного ступеню
, (1)
де . Припустимо, що корені рівняння (1) x1, x2, …, xn такі, що
, (2)
тобто корені різні за модулем, при чому модуль кожного попереднього кореня значно більший модуля наступного. Іншими словами, ми припускаємо, що відношення будь-яких двох сусідніх коренів, рахуючи у порядку спадання їх номерів, є величина, мала за модулем, тобто
(3)
де |k|< та - мала величина. Такі корені для кратності називатимемо відділеними (треба зауважити, що в загальному випадку це можуть бути як дійсні так і комплексні корені).
Скористаймося тепер співвідношеннями між коренями та коефіцієнтами рівняння (1)
Звідси в силу припущення (3) ми отримуємо:
(4)
де E1, E2, …, En – малі за модулем величини у порівнянні з одиницею. Нехтуючи в рівностях (4) величинами Ek (k=1, 2, …, n), будемо мати наближені відношення
(5)
Звідси знаходимо шукані корені
(6)
Щоб досягти відділення коренів, виходячи з рівняння (1), складають перетворене рівняння
, (7)
коренями якого y1, y2, …, yn є m-ті ступені коренів x1, x2, …, xn рівняння (1), тобто
yk=xkm (k=1, 2, …, n). ............
