Курсова робота з математики
«Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння»
Введення
У зв'язку із широким розвитком чисельних методів і зростанням ролі чисельного експерименту у великому ступені підвищився інтерес до спеціальних функцій. Це пов'язане із двома обставинами. По-перше, при розробці математичної моделі фізичного явища для з'ясування відносної ролі окремих ефектів вихідну задачу часто доводиться спрощувати для того, щоб можна було одержати рішення в легко аналізованій аналітичній формі. По-друге, при рішенні складних задач на ЕОМ зручно використовувати спрощені задачі для вибору надійних і економічних обчислювальних алгоритмів. Дуже рідко при цьому можна обмежитися задачами, що приводять до елементарних функцій. Крім того, знання спеціальних функцій необхідно для розуміння багатьох важливих питань теоретичної й практичної фізики.
Найбільше часто вживаними функціями є так звані спеціальні функції математичної фізики: класичні ортогональні поліноми (поліноми Якоби, Лагерра, Ермита), циліндричні, сферичні й гіпергеометричні. Теорії цих функцій і їхніх додатків присвячений цілий ряд досліджень.
1. Гіпергеометричне рівняння
1.1 Визначення гіпергеометричного ряду
Гіпергеометричним рядом називається статечної ряд виду
де z – комплексна змінна, , , - параметри, які можуть приймати будь-які речовинні або комплексні значення ( 0,-1,-2,…),і символ позначає величину
= =1
Якщо й – нуль або ціле негативне число, ряд обривається на кінцевому числі членів, і сума його являє собою поліном відносно z. За винятком цього випадку, радіус збіжності гіпергеометричного ряду рівняється одиниці, у чому легко переконатися за допомогою ознаки збіжності Даламбера: думаючи
zk
маємо
= ,
коли k , тому гіпергеометричний ряд сходиться при <1 і розходиться при >1.
Сума ряду
F( , , ,z) = , <1 (1.1)
називається гіпергеометричною функцією.
Дане визначення гіпергеометричної функції придатне лише для значень z, що належать колу збіжності, однак надалі буде показано, що існує функція комплексного змінного z, регулярна в площині з розрізом (1, ) яка при <1 збігається з F( , , ,z). Ця функція є аналітичним продовженням F( , , ,z) у розрізану площину й позначається тим же символом.
Щоб виконати аналітичне продовження припустимо спочатку що R( )>R( )>0 і скористаємося інтегральним поданням
(1.2)
k=0,1,2,..
Підставляючи (1.2) в (1.1) знаходимо
F( , , ,z) = = =
причому законність зміни порядку інтегрування й підсумовування випливає з абсолютної збіжності.
Дійсно, при R( )>R( ) >0 і <1
=
= F( , R( ),R( ), )
На підставі відомого біноминального розкладання
=(1-tz)-a(1.3)
0 t 1, <1
тому для F( , , ,z) виходить подання
F( , , ,z)= (1.4)
R( )>R( ) >0 і <1
Покажемо, що інтеграл у правій частині останньої рівності зберігає зміст і представляє регулярну функцію комплексного змінного z у площині з розрізом (1, ).
Для z приналежні області , (R – довільно велике, і довільно малі позитивні числа), і 0 < t < 1 підінтегральне вираження є регулярна функція z і безперервна функція t ; тому досить показати що інтеграл сходиться рівномірно в розглянутій області. Доказ треба з оцінки
(М – верхня границя модуля функції (1-tz)-a, безперервної в замкнутій області
, , 0 t 1)
що показує, збіжність інтеграла буде при R( )>R( ) >0 інтеграл
сходиться
Таким чином, умова <1 в (1.4) може бути відкинуто, і шукане аналітичне продовження гіпергеометричної функції в розрізану площину дається формулою
F( , , ,z)= (1.5)
R( )>R( ) >0;
У загальному випадку, коли параметри мають довільні значення, аналітичне продовження F( , , ,z) площина з розміром (1, ) може бути отримане у формі контурного інтеграла, до якого приводить підсумовування ряду (1.1) за допомогою теорії відрахувань.
Більше елементарний метод продовження, що не дає, однак, можливість одержати в явній формі загальне аналітичне вираження гіпергеометричної функції, полягає у використанні рекурентного співвідношення (1.6)
F( , , ,z) = +
справедливість якого може бути встановлена підстановкою в нього ряду (1.1). ............
