Содержание

 

Введение

Глава 1.Построение классического полукольца частных

Глава 2.Построение полного полукольца частных

Глава 3.Связь между полным и классическим полукольцами частных

Библиографический список

           Введение

В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.

В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.

Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.

Непустое множество  с определёнными на нём бинарными операциями  и называется коммутативным полукольцом, если выполняется следующие аксиомы:

A1.  - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом , т.е.

1)  ;

2)  

3)   

А2.  - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1, т.е.

1)  ;

2)  

3)   

А3. умножение дистрибутивно относительно сложения:

 , .

А4.  .

Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.

Глава 1.

Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:

Рассмотрим пары неотрицательных целых чисел .

Будем считать пары  и  эквивалентными, если , получим разбиение множества пар на классы эквивалентности.

Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.

Определение1. Элемент  назовём мультипликативно сокращаемым, если для из равенства следует, что .

Обозначим через  множество всех мультипликативно сокращаемых элементов.

Утверждение1.Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.

Пусть - делитель нуля, т.е.  для некоторого . Тогда , но не является мультипликативно сокращаемым. ▲

Пусть  - коммутативное полукольцо с возможностью сокращения на элементы из . Рассмотрим множество упорядоченных пар . Введём отношение ~ на :  для всех  и .

Предложение1. Отношение ~ является отношением эквивалентности на .

Покажем, что ~ является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.

1.Рефлективность: в силу коммутативности полукольца  ;

2. Симметричность: ;

3.Транзитивность: Таким образом, отношение ~ является отношением эквивалентности на .

Полукольцо  разбивается на классы эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые находятся в отношении ~. Обозначим  класс эквивалентности пары . Введём операции на множестве  всех классов эквивалентности:

 

 т.к. для  , ,  выполнено  отсюда т.к.  получаем  и поскольку  то  следовательно .

Покажем корректность введённых операций:

Пусть , , тогда

▲

Теорема1.  - коммутативное полукольцо с 1. .

Доказательство.

Чтобы доказать, что множество  всех классов эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать замкнутость на нём операций:

сложение: для  и

1.

2.

Так как правые части равны, то левые части тоже равны:

3. ............