Министерство Образования Российской Федерации
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
«Редуцированные полукольца»
Работу выполнил студент
математического факультета
\Подпись\ ____________
Научный руководитель:
К.физ.-мат. наук
.
\Подпись\ ____________
Рецензент:
Д. физ.-мат. наук, профессор
.
\Подпись\ ____________
Допущен к защите в ГАК
Зав. кафедрой ___________________.
«___»________________
Декан факультета _______________.
«___»________________
Киров, 2003.
План.
1. Введение.
2. Основные понятия, леммы и предложения.
3. Доказательство основной теоремы.
1.Введение
Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и × называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:
1. (S, +) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;
2. (S, ×) - полугруппа с нейтральным элементом 1;
3. умножение дистрибутивно относительно сложения:
a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc
для любых a, b, c Î S;
4. 0a = 0 = a0 для любого aÎ S.
Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.
В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.
Определение 2. Полукольцо S называется редуцированным, если для любых a, bÎS выполняется a = b, как только a+ b= ab + ba.
Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.
Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:
1. S слабо риккартово;
2. " a, bÎS (D(a)ÇD(b)=ÆÞ =Æ);
3. все идеалы Op, PÎSpec S, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);
4. все идеалы OM, MÎ Max S, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P Í M Þ Op=OM для " PÎ Spec S и MÎ Max S;
5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;
6. " a, bÎ S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);
Эта теорема обобщает факты, доказанные в классе колец ([1]). ............
