Министерство Образования, Молодежи и Спорта Республики Молдова
     Государственный университет Молдовы
    
    
    
     Физический факультет Кафедра теоретической физики Курсовая Работа
    
     Тема: Электрон в слое.
    
    
    
    
    
    
    
    
    
     Руководитель работы: Климин С.Н. Работу выполнил студент 3-го курса: Радченко Андрей
     Кишинёв 1997 г. Микрочастица (электрон) в слое.
    Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.
    Она состоит в следующем :
    Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :
    ? ?(2/(2m)??2/?x2 ? U0 , x < ?a ? ? H = ? ?(2/(2m0)??2/?x2 , ?a < x < a
    ?
    ? ?(2/(2m)??2/?x2 ? U0 , x > a Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ;
    m0 - эффективная масса электрона в области II. Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области : ? ?2?I/?x2 ? 2m/(2?(E ? U0)?I = 0 , x ? ?a ? ? ?2?II/?x2 ? 2m0/(2?E??I = 0 , ?a ? x ? a ? ? ?2?III/?x2 ? 2m/(2?(E ? U0)??I = 0 , x ? a Область I :
    Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :
    
    ?I(x) = A?exp(n?x) + B?exp(?n?x).
    
    Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,
    
    ?I(x) = A?exp(n?x).
     Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :
    
    ?II(x) = C?exp(i?k?x) + D?exp(?i?k?x).
     Функция состояния для третьей области выглядит так :
    
    ?III(x) = F?exp(?n?x).
    Где
     k = (2m0?E/(2)1/2
     n = (2m?(U0?E)/(2)1/2.
    
    Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем : * ? Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям. * ? В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них. * ? Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.
    
    Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :
    ?I(x=?a) = ?II(x=?a)
    ?II(x=a) = ?III(x=a)
    ?I?(x=?a)/m = ?II?(x=?a)/m0
    ?II?(x=a)/m0 = ?III?(x=a)/m
    
    А в наших определениях этих функций это выглядит так :
    
    A?exp(?n?a) = C?exp(?i?k?a) + D?exp(i?k?a)
    m?1?A? n?exp(?n?a) = i?k?/m0?(C?exp(?i?k?a) ? D?exp(i?k?a))
    C?exp(i?k?a) + D?exp(?i?k?a) = F?exp(?n?a)
    i?k?/m0?(C?exp(i?k?a) ? D?exp(?i?k?a)) = ? n/m?F?exp(?n?a).
    
     Теперь составим определитель :
     |exp(?n?a) ?exp(?i?k?a) ?exp(i?k?a) 0 | |m?1?n?exp(?n?a) ?1/m0?i?k?exp(?i?k?a) 1/m0?i?k?exp(i?k?a) 0 | |0 exp(i?k?a) exp(?i?k?a) ?exp(?n?a) | |0 1/m0?i?k?exp(i?k?a) ?1/m0?i?k?exp(?i?k?a) 1/m?n?exp(?n?a)|
    
    Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:
     ((n/m)2 ? (k/m0)2)?Sin(2?k?a) + 2?k?n/(m?m0)?Cos(2?k?a) = 0.
    Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.
    Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. ............