Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Методические указания
к самостоятельной работе по курсу «Высшая математика»
для студентов всех специальностей
под контролем преподавателя
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного
технического университета
Саратов 2008
Введение
Данная работа ориентирована на изучение некоторых численных методов приближенного решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений, составление на базе этих методов вычислительных схем алгоритмов и программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН – IV.
Методические указания могут быть использованы как в процессе выполнения курсовой работы, так и для решения практических задач.
Задача настоящих указаний состоит в том, чтобы научить студентов решать системы нелинейных уравнений с помощью ЭВМ и затем полученные навыки использовать в курсовом и дипломном проектировании.
Предполагается, что студенты прослушали лекционный курс по основам алгоритмического языка ФОРТРАН – IV.
В качестве справочного пособия по языкам программирования может быть использована литература. [5]
Численные методы для решения нелинейных уравнений
Цель работы: изучение численных методов приближенного решения нелинейных систем уравнений, составление на базе вычислительных схем алгоритмов; программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН – IV, приобретение практических навыков отладки и решения задач с помощью ЭВМ.
1. Определения и условные обозначения
– конечномерное линейное пространство, элементами (точками, векторами) являются группы из упорядоченных действительных чисел, например:
где – действительные числа, .
В введена операция сложения элементов, т. е. определено отображение ,
где
Оно обладает следующими свойствами:
1. ,
2. ,
3. , что (элемент называется нулевым),
4. , что (элемент называется противоположным элементу ).
В введена операция умножения элементов на действительные числа, т.е. определено отображение ,
где
Оно обладает следующими свойствами:
1. ,
2.
Операции сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности:
1. ,
2. .
Каждой паре элементов поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом и называемое скалярным произведением, где
и выполнены следующие условия:
1. ,
2. ,
3. ,
4. , причем – нулевой элемент.
Матрица вида
, (1)
где – действительные числа (,) определяет линейный оператор, отображающий линейное пространство в себя, а именно, для
,
где .
Над линейными операторами, действующими в линейном пространстве , вводятся следующие операции:
1. сложение операторов , при этом, если , то ,
2. умножение операторов на числа: при этом, если , то ,
3. умножение операторов: , при этом, если , то .
Обратным к оператору называется оператор такой, что , где – единичный оператор, реализующий тождественное отображение, а именно,
.
Пусть число и элемент , таковы, что .
Тогда число называется собственным числом линейного оператора , а элемент – собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу .
Линейный оператор называется сопряженным к оператору , если для любых элементов выполняется равенство .
Для всякого оператора сопряженный оператор существует, единствен; если , то .
Справедливы равенства:
1. ,
2. ,
3. ,
4. , если существует.
Каждому элементу ставится в соответствие действительное положительное число, обозначаемое символом и называемое нормой элемента .
Введем в рассмотрение три нормы для :
,
,
.
При этом выполняются следующие неравенства:
.
Норма элемента удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы):
1. , причем , лишь если ,
2. ,
3. .
Говорят, что последовательность элементов сходится к элементу ,
а именно, ,
или ,
если .
Определенная таким образом сходимость в конечномерном линейном пространстве называется сходимостью по норме.
Множество элементов , удовлетворяющих неравенству называется замкнутым (открытым) шаром в пространстве с центром в точке и обозначается .
Каждому линейному оператору, определяемому квадратной матрицей (1), ставится в соответствие действительное неотрицательное число, обозначаемое символом и называемое нормой линейного оператора .
Норма линейного оператора удовлетворяет следующим условиям аксиомам норм:
4.4 , причем , лишь если – нулевая матрица,
4.4 ,
4.4 .
Введем в рассмотрение три нормы для А отображающего в :
,
,
,
где i-ое собственное значение матрицы .
Эти нормы линейного оператора А согласованы с соответствующими нормами элемента (вектора) в смысле условия .
2. Основные сведения о системах нелинейных уравнений в
Общая форма систем нелинейных уравнений в имеет вид:
(2)
или F(x) = 0,
где – заданные функции n переменных, – неизвестные.
Функция при действительных значениях аргументов принимают действительные значения, т.е. ............