Ханспетер Крафт

Те, кому посчастливилось ходить на уроки математики ещё до введения теории множеств в школьную программу, несомненно, помнят теорему Пифагора, :

В прямоугольном треугольнике сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (рис.1).

Эта теорема была известна в Вавилонии уже во времена Хаммурапи, а возможно, её знали и в древнем Египте, однако впервые она была доказана, по-видимому, в пифагорейской школе. Так называлась группа интересующихся математикой философов по имени основателя школы Пифагора (ок. 580–500 г. до н. э.) – личности довольно мифической. Это был мистик, учёный и политик аристократического толка. Он, должно быть, путешествовал по Вавилонии и Египту, а позднее на юге Италии, в Кротоне, собрал вокруг себя кружок увлечённых юношей, из которого и возникла пифагорейская школа. В настоящее время уже невозможно установить, какие достижения пифагорейцев принадлежат самому учителю, а какие следует приписать его ученикам.

Пусть длины сторон прямоугольного треугольника ABC (рис.2) обозначены через a, b, c, причём сторона длины c находится напротив прямого угла. Теорема Пифагора утверждает справедливость равенства

a2 + b2 = c2.

Оно выполняется, например, если вместо a, b, c подставить числа 3, 4, 5, или 5, 12, 13, или 41, 140, 149. Такие решения уравнения (1) в целых положительных числах нашли уже пифагорейцы, и потому такие решения называют пифагоровыми тройками. Вполне возможно, что поиски этих троек и привели к теореме Пифагора. Впрочем, тройка (3, 4, 5) была известна значительно раньше, о чём свидетельствует, скажем, дошедший до нас диалог императора Чжоу-гуна (ок. 1100 г. до н. э.) и учёного Шан Гао ([2], стр. 54–65); более подробно о тройке (3, 4, 5) рассказывается в предыдущей лекции Ю. Рольфса.

Зададимся вопросом, сколько существует пифагоровых троек. Очевидно, умножая все три числа на любое целое n, можно из тройки (a, b, c) получить бесконечно много новых троек; из тройки (3, 4, 5) возникает таким образом последовательность троек (3, 4, 5) (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20), ... . Поэтому уточним поставленный вопрос и будем искать простейшие пифагоровы тройки (a, b, c), т.е. те, у которых наибольший общий делитель чисел a, b и c равен 1. Решение этой задачи указал ещё Диофант из Александрии (ок. 250 г. н. э.):

Если n и m – два взаимно простых целых (положительных) числа, разность которых n – m положительна и нечётна, то (2nm, n2 – m2, n2 + m2) – простейшая пифагорова тройка, и любая из таких троек может быть найдена этим способом.

Первая часть утверждения легко проверяется непосредственной подстановкой; частные случаи этого «правила построения» пифагоровых троек были известны и раньше. Более сложно доказать, что таким образом получаются все простейшие тройки. Сейчас мы установим это с помощью геометрических соображений. Разделив равенство (1) на c², получим

Поэтому каждая пифагорова тройка (a, b, c) дает решение уравнения

x2 + y2 = 1

Рис.3

в рациональных числах (дробях), а именно x = a/c, y = b/c; назовём такую пару рациональным решением уравнения (2). ............