Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Определение 3.3 Пусть - некоторая функция, - её область определения и - некоторый (открытый) интервал (может быть, с и/или )7. Назовём функцию непрерывной на интервале  если непрерывна в любой точке , то есть для любого существует (в сокращённой записи:

Пусть теперь - (замкнутый) отрезок в . Назовём функцию непрерывной на отрезке , если непрерывна на интервале , непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке , то есть

Теорема 3.5 Пусть и - функции и - интервал или отрезок, лежащий в . Пусть и непрерывны на . Тогда функции , , непpеpывны на . Если вдобавок пpи всех , то функция также непpеpывна на .

Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 - пpедложение 3.3:

Предложение 3.4 Множество всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке - это линейное пpостpанство:

Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.

Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке , причём и - числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что , а .) Тогда существует хотя бы одно такое значение , что (то есть существует хотя бы один корень уравнения ).

Доказательство. Рассмотрим середину отрезка . Тогда либо , либо , либо . В первом случае корень найден: это . В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция принимает значения разных знаков: в случае или в случае . Выбранную половину отрезка обозначим через и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины и , где , и найдём . В случае корень найден; в случае рассматриваем далее отрезок  в случае - отрезок и т.д.

Рис.3.16. Последовательные деления отрезка пополам

Получаем, что либо на некотором шаге будет найден корень , либо будет построена система вложенных отрезков

в которой каждый следующий отрезок вдвое короче предыдущего. Последовательность - неубывающая и ограниченная сверху (например, числом ); следовательно (по теореме 2.13), она имеет предел . Последовательность - невозрастающая и ограниченная снизу (например, числом); значит, существует предел . Поскольку длины отрезков образуют убывающую геометрическую прогрессию (со знаменателем ), то они стремятся к 0, и , то есть . Положим, теперь . Тогда

и

поскольку функция непрерывна. Однако, по построению последовательностей и , и , так что, по теореме о переходе к пределу в неравенстве (теорема 2.7), и , то есть и . Значит, , и - корень уравнения .

Пример 3.14 Рассмотрим функцию на отрезке . Поскольку и - числа разных знаков, то функция обращается в 0 в некоторой точке интервала . Это означает, что уравнение имеет корень .

Рис.3.17. Графическое представление корня уравнения

Доказанная теорема фактически даёт нам способ нахождения корня , хотя бы приближённого, с любой заданной наперёд степенью точности. Это- метод деления отрезка пополам, описанный при доказательстве теоремы. Более подробно с этим и другими, более эффективными, способами приближённого нахождения корня мы познакомимся ниже, после того, как изучим понятие и свойства производной.

Заметим, что теорема не утверждает, что если её условия выполнены, то корень - единственный. Как показывает следующий рисунок, корней может быть и больше одного (на рисунке их 3).

Рис.3.18. ............