1. Задача 1. В урне четыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.

Решение.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.

Вероятность события А найдем используя условную вероятность.

 = 0,278

 – вероятность того, что первый шар белый. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.

– вероятность того, что второй шар чнрный. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.

Ответ: 0,278.

2. Задача 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Решение.

Пусть событие  состоит в том, что сигнал пройдет с входа на выход.

,

где  – событие, состоящие в том, что i-ый элемент находится в рабочем состоянии.

Т.к. события  - независимые совместные события.

Ответ: 0,994.

3. Задача 3. На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% - вторым и 45% - третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99 , на втором - 0,988 и на третьем - 0,98. Изготовленные в течение дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.

Решение. Событие А состоит в том, что что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.

Гипотезы Н1, Н2, Н3.

 – деталь изготовлена на первом станке;

 – деталь изготовлена на втором станке;

 – деталь изготовлена на третьем станке;

Гипотезы Нi образуют полную группу событий.

Воспользуемся формулой полной вероятности:

 – полная вероятность.

=; =;

=; =;

=0,45; =;

Тогда

. = 0,015.

Ответ: 0,0,015.

4. Задача 4. Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6?

Решение.

Найдем  – наиболее вероятное число выпадений 6.

Наивероятнейшее число  определяют из двойного неравенства:

;

 – вероятность появления события в каждом из  независимых испытаний.  – вероятность того, что при одном испытании выпадет 6 (по формуле классической вероятности). .  – по условию.

;

Так как  – целое число, то наивероятнейшее число звонков равно .

Ответ: 2.

5. Задача 5. Дискретная случайная величина  может принимать одно из пяти фиксированных значений , , , ,  с вероятностями , , , ,  соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины . Рассчитать и построить график функции распределения.

Решение.

Таблица 1.

1 4 5 7 8

0,3 0,3 0,1 0,15 0,15

Найдем числовые характеристики данного распределения.

Математическое ожидание

 = 4,25

Дисперсию определим по формуле: .

= 24,55.

Тогда

Найдем функцию распределения случайной величины. ............