Содержание
Задача 1. 2
Задача 2. 4
Задача 3. 6
Задача 1
Пусть х (млн. шт.) – объем производства, С(х)=2х3-7х и D(x)=2х2+9х+15 – соответственно функция издержек и доход некоторой фирмы. При каком значении х фирма получит наибольшую прибыль π(х)? какова эта прибыль?
Решение
Прибыль фирмы является разницей между доходом и издержками фирмы:
,
,
.
Найдем наибольшее значение прибыли путем нахождения максимума функции .
- не удовлетворяет условию задачи,
.
График функции прибыли представлен на рисунке 1.
Рисунок 1 - График функции прибыли
Как видно из рисунка 1, функция прибыли в точке х=2 достигает максимального значения. Следовательно, фирма получает наибольшую прибыль при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составляет:
млн. у.е.
Ответ: наибольшую прибыль фирма получит при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составит 39 млн. у.е.
Задача 2
Заданы: функция прибыли , где х1 и х2 – объемы некоторых ресурсов; цены р1=1 и р2=1 за единицу каждого ресурса соответственно (в некоторых у.е.); бюджетное ограничение I=150 на затраты по приобретению указанных ресурсов (в тех же у.е.). При каких значениях объемов используемых ресурсов фирма–производитель получит наибольшую прибыль?
Решение
Задача сводится к поиску максимума функции при существовании ограничения :
при .
,
.
Найдем максимум функции графически.
Рисунок 2 – График функции
Как видно, функция достигает максимального значения при х1=90.
,
.
Ответ: фирма–производитель получит наибольшую прибыль при объемах ресурсов х1=90 и х2=60.
Задача 3
Задана парная выборка из 10 пар значений случайных велbчин X и Y (таблица 1).
Таблица 1 – Исходные данные
х у 1 5 70 2 11 65 3 15 55 4 17 60 5 2 50 6 22 35 7 25 40 8 27 30 9 30 25 10 35 32
1) Изобразите корреляционное поле случайных величин X и Y.
2) Вычислите основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации.
3) Найдите их совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции.
4) С помощью найденных характеристик составьте уравнение линейной регрессии Y на X.
5) Составьте уравнение линейной регрессии X на Y.
6) Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии.
7) Вычислите стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0 и b1.
8) Проверьте гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b0 и b1.
9) Вычислите с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b0 и b1 регрессии Y на X.
10) Найдите коэффициент детерминации R2 и поясните смысл полученного результата.
Решение.
1) Корреляционное поле случайных величин X и Y
2) Основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации
Таблица 2 – Вспомогательные расчеты
х у
х2
y2
xy 1 5 70 25 4900 350 2 11 65 121 4225 715 3 15 55 225 3025 825 4 17 60 289 3600 1020 5 2 50 4 2500 100 6 22 35 484 1225 770 7 25 40 625 1600 1000 8 27 30 729 900 810 9 30 25 900 625 750 10 35 32 1225 1024 1120 сумма 189 462 4627 23624 7460 средн 18,9 46,2 462,7 2362,4 746
Математическое ожидание:
,
.
Дисперсия:
,
.
Среднеквадратическое отклонение:
,
.
Размах вариации:
,
.
3) Совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции
Ковариация:
.
Коэффициент корреляции:
.
4) Уравнение линейной регрессии Y на X
,
,
.
5) Уравнение линейной регрессии X на Y
,
,
.
6) Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии
Точка пересечения (18,4;46,9).
7) Стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0 и b1
Таблица 3 – Вспомогательные расчеты
х у x' y'
x-xcp
y-ycp
(x-xcp)2
(y-ycp)2
1 5 70 5,572 62,975 -13,028 16,775 169,7288 281,4006 2 11 65 8,3645 55,745 -10,2355 9,545 104,7655 91,10702 3 15 55 13,9495 50,925 -4,6505 4,725 21,62715 22,32562 4 17 60 11,157 48,515 -7,443 2,315 55,39825 5,359225 5 2 50 16,742 66,59 -1,858 20,39 3,452164 415,7521 6 22 35 25,1195 42,49 6,5195 -3,71 42,50388 13,7641 7 25 40 22,327 38,875 3,727 -7,325 13,89053 53,65563 8 27 30 27,912 36,465 9,312 -9,735 86,71334 94,77023 9 30 25 30,7045 32,85 12,1045 -13,35 146,5189 178,2225 10 35 32 26,795 26,825 8,195 -19,375 67,15803 375,3906 сумма 189 462 188,643 462,255 2,643 0,255 711,7565 1531,748 средн 18,9 46,2 18,8643 46,2255 0,2643 0,0255 71,17565 153,1748
Для линии регрессии Y на X:
,
,
.
Для линии регрессии X на Y:
,
,
.
8) Проверка гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b0 и b1
Для α=0,05 и k=n-1-1=8 значение критерия Стьюдента t=2,31
Для линии регрессии Y на X:
, коэффициент значим,
, коэффициент значим.
Для линии регрессии X на Y:
, коэффициент значим,
, коэффициент значим.
9) Вычисляем с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b0 и b1 регрессии Y на X
Доверительный интервал для b0:
<a0<,
<a0<,
54,97<a0<83,03.
Доверительный интервал для b1:
<a1<,
<a1<,
-1,23<a1<-1,17.
10) Коэффициент детерминации R2 :
.
Коэффициент детерминации R2=0,6724 показывает, что вариация параметра Y на 67,24% объясняется фактором Х. ............
