САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КУРСОВАЯ РАБОТА

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ МОНТЕ - КАРЛО

Выполнил:

Руководитель:

Саратов, 2009

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

1.1 Принцип работы метода Монте – Карло

1.2 Применение метода Монте – Карло для вычисления n – мерного интеграла.

1.3 Сплайн – интерполяция 8

1.4 Алгоритм расчета интеграла

2. ГЕНЕРАТОР ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ

2.1 Генератор псевдослучайных чисел применительно к методу Монте – Карло.

2.2 Алгоритм генератора псевдослучайных чисел

2.3 Проверка равномерности распределения генератора псевдослучайных чисел.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

Целью данной работы является создание программного продукта для участия в конкурсе, проводимом группой компаний «Траст» по созданию программных разработок. Для реализации было выбрано следующее технической задание:

Задание 12 Вычисление интегралов методом Монте – Карло.

Цель:

1)  Реализация генератора случайных чисел для метода Монте – Карло.

2)  Сравнение равномерного распределения и специально разработанного.

3)  Вычисление тестового многомерного интеграла в сложной области.

Продукт:

1)  Программный код в виде функции на языке С++ или Fortran .

2)  Тестовые примеры в виде программы, вызывающие реализованные функции.

3)  Обзор использованной литературы.

Для реализации данного технического задания был выбран язык C++. Код реализован в интегрированной среде разработки приложений Borland C++ Builder Enterprises и математически обоснован соответствующий способ вычисления интеграла.

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА   1.1 Принцип работы метода Монте – Карло

Датой рождения метода Монте - Карло признано считать 1949 год, когда американские ученые Н. Метрополис и С. Услам опубликовали статью под названием «Метод Монте - Карло», в которой были изложены принципы этого метода. Название метода происходит от названия города Монте – Карло, славившегося своими игорными заведениями, непременным атрибутом которых являлась рулетка – одно из простейших средств получения случайных чисел с хорошим равномерным распределением, на использовании которых основан этот метод.

Метод Монте – Карло это статистический метод. Его используют при вычислении сложных интегралов, решении систем алгебраических уравнений высокого порядка, моделировании поведения элементарных частиц, в теориях передачи информации, при исследовании сложных экономических систем.

Сущность метода состоит в том, что в задачу вводят случайную величину , изменяющуюся по какому то правилу . Случайную величину выбирают таким образом, чтобы искомая в задаче величина  стала математическим ожидание от , то есть .

Таким образом, искомая величина  определяется лишь теоретически. Чтобы найти ее численно необходимо воспользоваться статистическими методами. То есть необходимо взять выборку случайных чисел  объемом . Затем необходимо вычислить выборочное среднее  варианта случайной величины  по формуле:

.                                                                                          (1)

Вычисленное выборочное среднее принимают за приближенное значение .

Для получения результата приемлемой точности необходимо большое количество статистических испытаний.

Теория метода Монте – Карло изучает способы выбора случайных величин  для решения различных задач, а также способы уменьшения дисперсии случайных величин.

  1.2 Применение метода Монте – Карло для вычисления n – мерного интеграла.

Рассмотрим n – мерный интеграл

 для .                                                 (2)

Будем считать, что область интегрирования , и что  ограниченное множество в . ............