Волновое уравнение не имеет единственного решения
    Виктор Кулигин, Галина Кулигина, Мария Корнева, Исследовательская группа "Анализ" Теорема о нарушении единственности решения
    Теорему о существовании и единственности решения задачи Коши можно найти в [1] (стр.44...46). Логика доказательства приводит к однородному волновому уравнению (77) (см. стр.45 в [1]), решение которого должно удовлетворять нулевым начальным и граничным условиям (стр.45 в [1]). Далее идет доказательство, что решение этого уравнения тривиальное и на основании этого делается заключение о единственности решения задачи Коши для волнового уравнения.
    Оказывается, существует множество решений задачи Коши для волнового уравнения. Мы приведем доказательство для свободного пространства (одномерный случай). Это продиктовано следующими соображениями. Во-первых, доказательство не будет перегружено дополнительными деталями. Во вторых, доказательство этого случая не нарушает общности рассуждений и его нетрудно обобщить на случай наличия граничных условий. В третьих, нас интересуют процессы в свободном пространстве (излучение и распространение волн в электродинамике), к которым это доказательство имеет прямое отношение. Доказательство
    Рассмотрим однородное волновое уравнение в безграничном одномерном пространстве с нулевыми начальными условиями.
     (1) Начальные условия: v = 0 и ?v/?t = 0 при t = 0.
    Представим теперь функцию v как сумму некоторых двух функций:
    v = u + f (2) Подставим это выражение в (1) и перенесем члены, зависящие от f в правую часть уравнения (1).
     (3) Мы можем выбрать и присвоить функции f определенное выражение. Пусть, например,
    f = (cos?x·sinat)4, когда -1 < x < 1 и 0 < t < ?/a;
    f = 0 если x < -1 или x > 1 и t > ?/a или t < 0.
    Функция ограничена f в пространстве и во времени. В этом случае уравнение (3) превращается в неоднородное волновое уравнение, правая часть которого нам известна. Теперь мы можем сформулировать начальные условия для функции u.
    Начальные условия:
    u = - f(x;0) и ?u/?t = - ?f / ?t при t = 0 (4) Решение уравнения (3) с начальными условиями (4) существует (см., например, [1], стр.75, выражение (24)). Следовательно, мы имеем окончательный результат - новое, нетривиальное решение однородного волнового уравнения с нулевыми начальными условиями. Запишем общее ненулевое решение однородного волнового уравнения, удовлетворяющего задаче Коши с нулевыми начальными условиями:
    , (5) где.
    Функция f не должна быть решением волнового уравнения.
    Мы видим, что второе решение существует и отлично от нуля при t>0. Таким образом, теорема о нарушении единственности решения задачи Коши для волнового уравнения доказана. Применение результатов
    Полученное доказательство служит обоснованию метода получения новых решений, описанного в [2], [3] и др. статьях авторов. Оно имеет прямую связь с калибровкой решений в электродинамике [2], [3].
    Пусть мы имеем неоднородное волновое уравнение
    
    с соответствующими начальными условиями: v=?(x) и ?v/?t=?(x) при t=0.
    Представим решение этого уравнения в форме (2): v=u+f.
    Оставим в левой части волнового уравнения только члены, зависящие от u. ............