ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ
1. Основні поняття і теореми
Def. Нехай задано квадратну матрицю А n-го порядку з елементами aij, де i визначає номер рядка, j – номер стовпця і при цьому через хj позначені стовпці матриці А, тобто
і .
Визначником (det A) квадратної матриці А зі стовпцями хj називається функціонал j(х1, х2, … , хn) щодо стовпців цієї матриці, який:
а) лінійний за кожним з аргументів (полілінійний):
теорема обчислення визначник сума
j(х1, …, aхi1 + bхi2, … , хn) = aj(х1, … , хi1, … , хn) + bj(х1, … , хi2, … , хn);
б) абсолютно антисиметричний (антисиметричний по будь-якій парі аргументів): j(х1, … , хi, … , хj, … , хn) = –j(х1, … , хj, … , хi, … , хn);
в) підкоряється умові нормування:
.
Тоді, з огляду на загальний вигляд полілінійного антисиметричного функціонала, маємо:
а б
Рис. 1
, (1)
де N(j1 j2 … jn) – кількість безладів у перестановці .
Говорять, що в перестановці мається безлад, якщо jk > jm і k < m.
З формули (1) для визначника другого порядку одержуємо .
Визначник третього порядку дорівнює сумі шести (3! = 6) доданків. Для побудови цих доданків зручно скористатися правилом трикутників. Добуток елементів, що розташовані на головній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на рис. 1а, беруться з множником +1, а добуток елементів, що розташовані на побічній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на мал. 1б, беруться з множником –1, тобто
Властивості визначників:
1°. det A = det AT. З цієї властивості випливає, що рядки і стовпці визначника рівноправні. У силу цього всі властивості, сформульовані для стовпців, можуть бути сформульовані і для рядків визначника.
2°. Якщо один зі стовпців визначника складається з нульових елементів, то визначник дорівнює нулю.
3°. Загальний множник у стовпці визначника можна виносити за знак визначника.
4°. Якщо у визначнику поміняти два стовпці місцями, то визначник змінить знак.
5°. Визначник, що має два рівних стовпці, дорівнює нулю.
6°. Якщо стовпці визначника лінійно залежні, то визначник дорівнює нулю.
7°. .
8°. Визначник не зміниться, якщо до стовпця визначника додати лінійну комбінацію інших стовпців.
9°. Визначник добутку двох квадратних матриць n-го порядку дорівнює добуткові визначників цих матриць.
Def. Якщо в матриці А порядку n викреслити i-й рядок та j-й стовпець, то елементи, що залишилися, утворять матрицю (n – 1)-го порядку. Її визначник називається мінором (n – 1)-го порядку, додатковим до елемента aij матриці А, і позначається Мij, а величина Аij = (–1) i + j Мij називається алгебраїчним доповненням до елемента aij матриці А.
10°. (Розкриття визначника за елементами j-го стовпця та за елементами i-го рядка).
11°.
12°. (Теорема Лапласа).
.
Тут – мінор, складений з елементів матриці А, що розташовані на перетині рядків i1, i2, …, ik і стовпців j1, j2, …, jk, а – алгебраїчне доповнення до цього мінора.
13°. (Про зміну елементів визначника).
Якщо , а , то .
3. Приклади розв’язування задач
Задача 1. Обчислити визначник: .
Розв’язання. I спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за елементами (наприклад) третього рядка (властивість 10º):
.
Визначники третього порядку, що входять до останнього виразу, обчислені за правилом трикутників.
II спосіб. ............