Теория распределения информации Курсовая работа Министерство науки и высшего образования Республики Казахстан Алматинский институт энергетики и связи Кафедра Автоматической электросвязи г. Алматы, 1999 г. Задание 1.
    Построить огибающую распределения вероятности занятия линии в пучке из V, на каждую из которых поступает интенсивность нагрузки а при условии, что:
    а) N >> V; б) N V; в) N, V
    Для каждого используемого распределения рассчитать среднее число занятых линий и их дисперсию.
    Для расчета число линий в пучке определить из следующего выражения:
    V= ;
    целая часть полученного числа, где NN - номер варианта.
    Средняя интенсивность нагрузки, поступающей на одну линию:
    а = 0,2+0,01 * NN
    Примечания:
    Для огибающей распределения привести таблицу в виде:
    
    Р(i) i
    В распределении Пуассона привести шесть - восемь составляющих, включая значение вероятности для i = (целая часть А)
    А = а * V
    Решение:
    Случайной называют такую величину, которая в результате эксперимента принимает какое то определенное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин, которые наперед предугадать невозможно. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная случайная величина определяется распределением вероятностей, непрерывная случайная величина - функцией распределения основными характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.
    Определим исходные данные для расчета:
    V=
    a = 0.2 + 0.01 ? 11 = 0.31 Эрл (средняя интенсивность нагрузки)
    А = а ? V = 0,31 ? 11 = 3,41 ? 4 Эрл (нагрузка)
    а) Определим вероятности занятия линий в пучке из V = 11, при условии N >> V (N - число источников нагрузки).
    Для этого используем распределение Эрланга, представляющее собой усеченное распределение Пуассона, в котором взяты первые V+1 значения и пронумерованы так, чтобы сумма вероятностей была равна единице.
    Распределение Эрланга имеет вид:
    Pi(V) = , ,
    где Pi(V) - вероятность занятия любых i линий в пучке из V.
    Для определения составляющих распределения Эрланга можно применить следующее реккурентное соотношение:
    
    
    Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий соответственно равны:
    
    где Pv - вероятность занятости всех линий в пучке из V.
    Произведем расчет:
    Р0 =
    Р1 = Р0 ? = 0,072 Р2 = Р1 ? = 0,144
    Р3 = Р2 ? = 0,192 Р4 = Р3 ? = 0,192
    Р5= Р4 ? = 0,153 Р6 = Р5 ? = 0,102
    Р7 = Р6 ? = 0,058 Р8 = Р7 ? = 0,029
    Р9 = Р8 ? = 0,012 Р10 = Р9 ? = 4,8 ? 10-3
    Р11 = Р10? = 1,7 ? 10-3
    M( i ) = 4 ? (1 - 1,7 ? 10-3) = 3,99
    D( i ) = 3,99 - 4 ? 1,7 ? 10-3 ? (11 - 3,99) = 3,94
    Данные результаты вычислений сведем в таблицу 1:
    Таблица 1 P( i ) 0,018 0,072 0,144 0,192 0,192 0,153 0,102 0,058 0,029 0,012 0,0048 0,0017 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
    б) Определим вероятность занятия линий в пучке из V=11, при условии N?V. Применим распределение Бернулли (биноминальное распределение), которое имеет вид:
    
    где: Pi(V) - вероятность занятия любых i линий в пучке из V;
    - число сочетаний из V по i (i = 0, V)
    ,
    а - средняя интенсивность поступающей нагрузки на одну линию
    V-линейного пучка от N источников.
    Для вычисления вероятностей можно воспользоваться следующей рекурентной формулой:
    
    Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий соответственно равны:
    M( i ) = V?a; D( i ) = V ? a ? (1-a)
    Произведем расчет:
    ;
    Р1 = 16,8?10-3?
    Р2 = 16,8?10-3?
    Р3 = 16,8?10-3?
    Р4 = 16,8?10-3?
    Р5 = 16,8?10-3?
    Р6 = 16,8?10-3?
    Р7 = 16,8?10-3?
    Р8 = 16,8?10-3?
    Р9 = 16,8?10-3?
    Р10 = 16,8?10-3?
    Р11 = 16,8?10-3?
    M( i ) = 11 ? 0,31 = 3,41; D( i ) = 11 ? 0,31 ? (1 - 0,31) = 2,35
    Результаты вычислений сведем в таблицу 2:
    Таблица 2 P(i) ?10-3 16,8 82,3 37,7 22,6 15 10 7,5 5,3 3,7 2,5 1,5 0,6 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
    в) Определим вероятность занятия линий в пучке из V=11 , при условии N,V??.
    Используем распределение Пуассона, как вероятность занятия i линий в бесконечном пучке линий за промежуток времени t:
    , ,
    где: ? - параметр потока, выз/час
    ?t - средняя интенсивность нагрузки поступающей на пучок линий (А=?t).
    Легко показать, что:
    ,
    Произведем расчет:
    Р0 = ? е-4 = 0,018 Р1 = 0,018 ? = 0,036
    Р4 = ? 0,018 = 0,192 Р6 = 0,018 ? = 0,102
    Р8 = 0,018 ? = 0,029 Р10 = 0,018 ? = 0,0052
    Р12 = 0,018 ? = 0,0006
    M( i ) = D( i ) = 4
    Результаты вычислений сведем в таблицу 3:
    Таблица 3 P( i ) 0.018 0.036 0.192 0.102 0.029 0.0052 0.0006 i 0 1 4 6 8 10 12
    По данным таблиц 1, 2, 3 построим графики огибающей вероятности для трех случаев: а) N>>V, б) N?V, в) N, V ? ? ; рис. ............