Оглавление
Введение
Глава I. Дополнительные сведения
1.1 Вспомогательные понятия и утверждения
1.2 Смежные классы по подгруппе и теорема Лагранжа
1.3 Нормальные подгруппы. Классы сопряженных элементов
1.4 Нормализатор множества в группе. Центр группы
1.5 Теоремы о гомоморфизмах
Глава II. Теорема Силова
2.1 Первая теорема Силова
2.2 Вторая и третья теорема Силова
2.3 Описание групп порядка pq
2.4 Примеры силовских подгрупп
Заключение
Список литературы
Введение
В наши дни не без основания говорят об “алгебраизации” математики, то есть о проникновении идей и методов алгебры, как в теоретические, так и в прикладные разделы всей математики.
В соответствии с принципом “важны не математические объекты, а отношения между ними” алгебра определяется как наука об алгебраических операциях, выполняемых над элементами различных множеств. Сами алгебраические операции выросли из элементарной арифметики. В свою очередь на основе алгебраических соображений получаются наиболее естественные доказательства многих факторов из “высшей арифметики” – теории чисел. теорема силов лагранж
Одной из основных типов алгебраических систем является группа. Теория групп изучает в самой общей форме свойства алгебраических операций, наиболее часто встречающихся в математике и её приложениях. Понятие группы явилось исторически одним из первых примеров абстрактных алгебраических систем и послужило во многих отношениях образцом при перестройке других математических дисциплин на рубеже XIX-XX веков, в результате которой понятие математической системы стало основным в математике.
В ряду алгебраических дисциплин составляющих совокупности, то, что иногда называют общей алгеброй, теория групп занимает, бесспорно, первое место как наиболее развита из этих дисциплин. Кроме того, теория групп представляется как область алгебры близко соприкасающийся с рядом других алгебраических теорий.
Старейшей и интенсивно развивающей ветвью теории групп, является теория конечных групп. Теорема Силова является краеугольным камнем в теории конечных групп.
Целью данной дипломной работы является изучение силовских р-подгрупп конечной группы и их свойств.
Цель обусловила постановку и решение следующих задач.
1. Изучить основные понятия теории групп.
2. Рассмотреть теорему Силова и проанализировать различные способы доказательства.
3. Представить данную тему в развернутой форме, которая в последствии может быть использована при чтении спецкурсов по теории групп.
Поставленные задачи определили структуру дипломной работы, которая состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
В первой главе собраны вспомогательные понятия и теоремы, используемые в работе, что позволило сделать изложение более доступным и замкнутым.
Во второй главе дается определение р-подгруппы, доказываются теоремы Силова, дается описание групп порядка pq и, кроме того, приводиться примеры силовских р-подгрупп.
Глава I. Дополнительные сведения
1.1 Вспомогательные понятия и утверждения
Непустое множество G с заданной на нем бинарной алгебраической операцией * называется группой, если выполнено следующие условия:
1) замкнутость – для любого a,bÎG элемент a*bÎ G;
2) ассоциативность – для любых a,b,cÎ G справедливо равенство (a*b)*c=a* (b*c) ;
3) существование нейтрального элемента – для любого aÎG существует элемент eÎG такой, что a*e = e*a=a;
4) существование обратного элемента – для любого существует элемент a-1ÎG такой, что a*a-1=a-1*a=e.
Подмножество H группы G называется подгруппой, если относительно операции определенной во всей группы подмножество само является группой.
Предложение 1.1.1. Если подмножество H элементов группы G содержит вместе с двумя элементами a, b их произведение ab и вместе с каждым элементом a его обратный a-1, то H есть подгруппа G.
Доказательство. ............
