Существование в геометрии. Анализ категорий модальности Гутнер Г.
    Мы видели, что две влиятельные математические школы XX века, которые справедливо рассматриваются как соперничающие между собой, исходят, в конечном счете, из общего философского основания. Этим основанием явилась для них философия Канта. Поэтому мы имеем право говорить о кантианской (или, возможно, трансценденталистской) традиции в основаниях математики. Обсуждая проблему существования и математической онтологии, мы будем иметь в виду именно эту традицию. Совершенно очевидно, что она не является единственно возможной. Ей явно противостоит иная традиция, связанная с именами Фреге и Рассела и обосновывающая математическое рассуждения средствами логического позитивизма (или аналитической философии). Мы не будем касаться этой традиции в рамках настоящей работы. Наиболее естественным для нас сейчас будет подробное рассмотрение той интерпретации существования математических объектов, которая предлагается самим Кантом. 1 Возможное и действительное в математике
    Обсуждать проблему существования, оставаясь в рамках "Критики чистого разума", довольно удобно, поскольку определение существования дано в этой книге явно. "Существование" - одна из трех категорий модальности и Кант весьма подробно описывает каким способом рассудок определяет предмет как существующий. С другой стороны, однако, определение существования (действительности) дается здесь в совокупности с определением двух других категорий модальности и может быть правильно понято лишь при сопоставлении с ними. Обратимся к непосредственному описанию обсуждаемых категорий: возможности, действительности и необходимости. Такое описание приведено в главе "Система всех основоположений чистого рассудка" и названо "Постулаты эмпирического мышления вообще".
    "1. Что согласно с формальными условиями опыта (что касается наглядных представлений и понятий), то возможно.
    2. Что связано с материальными условиями опыта (ощущения), то действительно.
    3. То, связь чего с действительностью определяется согласно общим условиям опыта, существует необходимо." (B266, курсив Канта).
    В какой мере категория действительности (т.е. существования в собственном смысле этого слова) (См. примечание 1) может быть условием знания о предметах математики? Чтобы установить это, обратимся к краткому разъяснению Канта по поводу соответствующего постулата.
    "Постулат действительности вещей требует восприятия, т.е. ощущения и сознания, если не непосредственно самого предмета, существование которого должно быть познано, то, по крайней мере связи его с каким-либо действительным восприятием согласно аналогиям опыта.." (B272 - курсив Канта).
    Едва ли рассуждение о математическом предмете может основываться на аналогиях опыта, призванных установить "реальные связи" (т.е. связь согласно законам причинности и взаимодействия). Следовательно постулат действительности требует непосредственного восприятия предмета для познания его существования. Поэтому как о действительном можно говорить, прежде всего, только о единичном предмете, представленном благодаря ощущению. Есть ли вообще в математике такие предметы? Несомненно есть, поскольку всякое математическое рассуждение так или иначе оставляет след на бумаге или на доске. ............