Билет №1 Пусть в обл. P плоскости XOY задана некоторая фун-ия z=f(x;y). Разобъём обл. P на n частичных обл. Рi , где i=1...n, возмём произвольную точку обл. (?I;?I) ? Рi , ? - наиболь-ший диаметр чатичных обл.
    Построим частичную сумму - сумму Римена. Определение: Если существует конечный предел и не зависит от способа делений области на части и от выбора т. (?I;?I) в каждой из частичных областей, то такой предел принято называть двойным интегралом по обл. Р и пишут: В случае, если фун-ия f > 0 мы приходим к геометрическому смыслу двойного интеграла: днойной интеграл - это объём некоторого цилиндрического тела, сверху ограниченного пов-тью z = (x;y), которая проектируется на плоскость XOY в обл. Р, а образующие параллельны OZ. Площадь обл. Р: Двойной интеграл от f(x;y) имеет многие св-ва, аналогичные св-ам одномерного интеграла. Св-ва двойного интеграла: 1.Необходимым условием сущ. Двойного интеграла явл. ограниченность ф-ции f в обл. Р, т.е если сущ. интеграл, то f(x;y) - ограниченная. 2.Всякая непрырывная ф-ция, заданная в обл. Р, интегри-руема. 3.Если ф-ция f(x;y) в обл. Р имеет разрывы на конечном числе непрырывных кривых, принадлежащих этой обл., то f интегрирума по обл. Р. 4.Сумма Дарбу:
     Теорема: Для того, чтобы двойной интеграл от ограниченной обл. Р существовал, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: 5.Аддетивность двойного интеграла, т.е., если задана обл.Р некоторой непрырывной кривой разбита на две обл-ти Р1иР2 не имеющих общих точек, то, если двойной интеграл по обл. Р существует, то существуют интегралы относительно по двум областям. 6.Линейность: 7.Если f(x;y) ? g(x;y) для ?(x;y)?P и ф-ции f и g интегрируемы, то соответственно справедливо неравенство: 9.Если f(x;y) удовлетворяет нер-вам m ? f(x;y) ? M, то справедливо следующее неравенство: 10.Для двойного интеграла имеет место теорема о среднем: если z = f(x;y) - ф-ция, заданая в обл. Р и такая, что во всех точках этой области выполняется нер-во m ? f(x;y) ? M, где то существует число ? такое, что справедливо равенство: В случае непрырывности ф-ции: Вопрос №3 Пусть в плоскости XOY задана плоскость Д, ограничен-ная следующими кривыми: y=?1(x) a ? x ? a - снизу; y=?2(x) a ? x ? b - сверху; x = a - слева; x = b - справа; Тогда имеет место следующая теорема. Теорема: Если функция f(x;y) задана в области Д такова, что существует двойной интеграл для любого фиксированного x? [a ; b] существует одно- мерный интеграл то тогда существует повторный интеграл Доказательство: Обозначим c=inf ?1(x) a ? x ? b; d=max ?1(x) a ? x ? b и рассмотрим прямоугольник R=[a,b;c,d]?Д. P=R\Д (раз- ность множеств). Построим вспомогательную функцию Рассмотрим Получаем следующее равенство: Замечание: Пусть теперь область Д ограничена следующими линиями: x=?1(y) c ? y ? d - слева; x=?2(y) c ? y ? d - справа; x = c - сверху; x = d - снизу. И пусть Тогда аналогично предыдущему можно показать, что существует повторный интеграл и Если же функция f(x;y) такова, что существует двойной интеграл, существует оба повторных, то одновременно имеют место формулы (1) и (2) и можно пользоваться любой из них. Вопрос №5 Формула Грина. Теорема: Пусть задана область Д огран. след. кривыми: y=?1(x) a ? x ? b y=?2(x) a ? x ? b x=a , x=b, где ф-ции ?1 и ?2 непрер. на (a,b). Пусть в этой области задаётся функция P(x,y) - непрер. и имеющая непрер. частную производную: , тогда имеет место след. равенство: Доказательство: Рассмотрим двойной интеграл, стоящий справа в формуле(1). ............