Роль интуиции и неявного знания в формировании стиля математического мышления.
    Результатом работы математика вне зависимости от стиля мышления являются доказательные рассуждения. Но доказательство как процесс - опять же вне зависимости от стиля мышления - не обходится без участия и некоторых нерациональных моментов. У А. Пуанкаре мы встречаем выражение "математическое творчество" [1]. Он и Ж. Адамар в своих философско-математических исследованиях много внимания уделяли именно творческой стороне математического мышления. Исследуя процесс математического открытия, Ж. Адамар выделил ряд его основных этапов [2]. Первый этап - это когда "подготовка", происходит осознанное исследование проблемы; второй этап - "инкубация", когда проблема как бы вытесняется в подсознание и исследователь может вообще забыть о ней; третий и центральный этап - "озарение", когда решение проблемы вдруг неожиданно "прорывается" в сознание (иногда этот этап сопровождается психологическим предчувствием); и последний, заключительный этап проверки и теоретического оформления результатов.
    Движущей силой творческого процесса в математике является интуиция - особая способность мышления к неосознанным как бы свернутым умозаключениям, которые затем логически, дискурсивно необходимо как бы развернуть. Разумеется, развернуть мы можем только само умозаключение, а не деятельность интуиции как таковую. Мы не можем алгоритмизировать ее прежде всего потому, что она полностью скрыта в подсознании, и мы осознаем только ее результаты.
    В настоящее время выяснено, что на этапе инкубации, предшествующем озарению, неосознаваемые образы могут трансформироваться в так называемое неявное знание [4]. В результате озарения это неявное знание может быть вербализовано и затем преобразовано посредством дискурсивных рассуждений в явное математическое теоретическое знание, выраженное непосредственно в символах и терминах математики.
    Роль интуиции в математическом творчестве очевидна. Без ее участия невозможно ни одно хоть сколько-нибудь крупное математическое открытие. Вообще решение любой задачи, выходящей за рамки тавтологии, непременно содержит в себе интуитивный элемент. Его присутствие всегда психологически ощутимо, поскольку утверждение предшествует собственно доказательству. Математик сначала формулирует на основе результатов работы интуиции некоторый вывод, а затем его уже обосновывает на языке математической теории.
    Можно предположить, что вследствие такого статуса интуиции в математическом исследовании, а также ее личностного характера [3], особенности деятельности интуиции и будут определять в основном стиль мышления того или иного математика. В этом смысле мы можем говорить о более или менее интуитивном стиле математического мышления, то есть о математиках-интуитивистах и о математиках-рационалистах, или, следуя А. Пуанкаре, математиках-аналитиках. По-другому он их называет соответственно геометрами и логиками [5]. К первым А. Пуанкаре причисляет Ли и Римана, ко вторым - Эрмита и Вейерштрасса. Очень высоко редкостную математическую интуицию Римана оценивает и Ф. Клейн [7], при этом он отмечает ведущую роль интуиции в математическом исследовании.
    Дадим здесь краткую характеристику аналитического и интуитивного математического мышления. ............