Курсовая работа

На тему:

«Решение математических задач с использованием программного пакета MathCad»

Екатеринбург 2010

1. Краткие теоретические сведения

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка:

y(n) = f (x, y, y’, y’’… y(n-1))

Общее решение этого уравнения зависит от n-произвольных постоянных.

Точное решение дифференциального уравнения может быть найдено вручную, либо операторным методом в пакете MathCad. Также есть приближенные методы решения: решение с помощью рядов, численные методы и др. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения приближенного решения останавливаются на некотором шаге процесса.

Принцип операторного метода состоит в том, что при переводе функции дифференциального уравнения y(n) = f (x, y, y’, y’’… y(n-1)) в пространство Лапласа мы получаем изображение F(s), которое зависит только от одной переменной s. Отсюда, по теореме о единственности мы можем найти точное решение дифференциального уравнения.

Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за приближенное решение принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y' = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х0) = y0, причём известно, что f (x, у) – аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х0, y0). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда:

y (x) – y (x0) =

Коэффициенты Ak ряда могут быть найдены либо последовательным дифференцированием, либо с помощью метода неопределенных коэффициентов, который применяется в курсовой работе. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х – х0.

К численным методам относятся методы, позволяющие находить приближенное решение при некоторых значениях аргумента (т.е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов (метод Рунге-Кутты).

Если a – точное решение, то абсолютной погрешностью приближенного значения a* называют величину Д(а*), которая определяется следующим образом:

|a*-a| ≤ Д(a*)

Относительной погрешностью Дa приближенного значения называют некоторую величину, которая определяется следующим образом:

|(a*-a)/ a* | ≤ д(a*)

Таким образом, эти две погрешности связаны между собой:

д(a*) = Д(a*) / |a*|

Относительную погрешность часто выражают в процентах. Числа a* и Дa принято записывать с одинаковым количеством знаков после запятой.

Получить точное решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0,1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутты, представить совместное графическое решение ДУ всеми способами. ............