Задание 1 Предприятию для изготовления наборов елочных украшений необходимо изготовить их составные части - шар, колокольчик, мишура. Эти данные представлены в таблице:
Наименование составных частей Виды наборов 1 2 3 4 Шар 5 6 8 10 Колокольчик 3 4 6 0 Мишура 0 3 5 8
В свою очередь для изготовления этих составных частей необходимы три вида сырья - стекло (в г), папье-маше (в г), фольга (в г), потребности в котором отражены в следующей таблице
Вид сырья Составные элементы Шар Колокольчик Мишура Стекло 5 0 0 Папье-маше 0 4 0 Фольга 3 0 75
Требуется:
1) определить потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению комплектов первого, второго, третьего и четвертого вида в количестве соответственно x1, x2, x3 и x4 штук;
2) провести подсчеты для значений x1 = 500, x2 = 400, x3 = 300 и x4=200.
Решение: составим условия для определения числа деталей в зависимости от числа и вида наборов. Пусть n1, n2 и n3 - число шаров, колокольчиков и мишуры, соответственно.
Тогда условия будут выглядеть следующим образом:
n1 = 5x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4
n2 = 3x1 + 4x2 + 6x3
n3 = 3x2 + 5x3 + 8x4
Составим условия определяющие потребности в сырье в зависимости от вида деталей. Пусть y1, y2 и y3 - потребности в стекле, папье-маше и фольге, соответственно:
y1 = 5n1
y2 = 4n2
y3 = 3n1 + 75n3
Теперь подставим вместо ni - полученные ранее равенства.
y1 = 5· (5x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4) = 25x1 + 30x2 + 40x3 + 50x4
y2 = 4· (3x1 + 4x2 + 6x3) = 12x1 + 16x2 + 24x3
y3 = 3· (5x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4) + 75· (3x2 + 5x3 + 8x4) = 15x1 + 243x2 + 399x3 + 630x4
Проведем подсчеты для значений
x1 = 500, x2 = 400, x3 = 300 и x4=200.
y1 = 25 * 500 + 30 * 400 + 40 * 300 + 50 * 200 = 46500 г.
y2 = 12 * 500 + 16 * 400 + 24 * 300 = 19600 г.
y3 = 15 * 500 + 243 * 400 + 399 * 300 + 630 * 200 = 350400 г.
Задание 2
Пусть aij - количество продукции j, произведенной предприятием i, а bi - стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения aij и bi заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).
,
Решение:
Составим систему уравнений:
Матричное уравнение выглядит следующим образом:
A · X = B
Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A-1
A-1 · A · X = A-1 · B; E · X = A-1 · B; X = A-1 · B
Найдем обратную матрицу A-1
Δ = 12 * 9 * 1 + 6 * 8 * 10 + 15 * 5 * 11 - 15 * 9 * 8 - 6 * 5 * 1 - 12 * 10 * 11 = - 1017
;
=
X =· = =
Решим систему методом Крамера
Δ = - 1017
Δ1 = = 231 * 9 * 1 + 238 * 8 * 10 + 216 * 5 * 11 - 216 * 9 * 8 - 238 * 5 * 1 - - 231 * 10 * 11 = - 9153
Δ2 = = 12 * 238 * 1 + 6 * 8 * 216 + 15 * 231 * 11 - 15 * 238 * 8 - 6 * 231 * 1 - 12 * 216 * 11 = - 7119
Δ3 = = 12 * 9 * 216 + 6 * 231 * 10 + 15 * 5 * 238 - 15 * 9 * 231 - 6 * 5 * 216 - 12 * 10 * 238 = - 11187
x1 = Δ1/Δ = - 9153/ (- 1017) = 9
x2 = Δ2/Δ = - 7119/ (- 1017) = 7
x3 = Δ3/Δ = - 11187/ (- 1017) = 11
Решим систему методом Гаусса
=> => =>
=> => = >
Задание 3 Найти частные производные первого и второго порядков заданной функции:
Решение:
Задание 4 Задана функция спроса , где p1, p2 - цены на первый и второй товары соответственно. Основываясь на свойствах функции спроса, определить: какой товар является исследуемым, а какой альтернативным и эластичность спроса по ценам исследуемого и альтернативного товаров. ............
