1)Дифференциальное уравнение. Общее решение. Частное решение. Задача Коши

Диф.ур-м наз-ся ур-е, связывающее независим.перем. х сикомую ф-ию у, и ее производные.

.

. => ОДУ

.

Общим решением ОДУ первого порядка назся ф-ия , удовл.след.условиям:

1) явл.решением ур-я  при

2) ∃ такое значение произв.пост. , при котором  удовл.данному нач.условию. -общий интеграл

Частн.решением обыкн.диф.ур-я первого порядка наз-ся ф-ия кот.получ.из общего решения ) при конкретном значении с.

Задача Коши- задача нахождения обыкнов. диф.ур-я удовлет. начальному условию

2)Уравнение с разделяющимися переменными.

Наз-ся обыкновенное уравнеие1 порядка, кот.прив.к виду:

К ним относ. диф.ур.вида:

1) 2)  умножим на  =>

.- ур-е с раздел.перем.

3)Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным

Ф-ия наз-ся однород.ф-ей  порядка или n-ой измерениями относительно переем если при .

. аргументом явл.дробь.

4)Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

.Ур-е наз-ся ур-ем в полных диф.если сущ-ет такоя ф-ия

.

 

5)Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

ДУ 1 порядка наз-ся линейным, если его можно записать в виде  – заданные ф-ии, в частности – постоянные.

а)Метод Бернулли

Решение ур-яищется в виде произведения двух других ф-ий, т.е. сРер помощью подстановки  – неизвестные ф-ии х, причем одна из них произвольна (но ≠0) – днйствительно любую ф-ию у(х) можно записать как:

, ).Тогда Подставляя выражение у и у’ в  получаем:  Подберем ф-ю  так что бы

. Итак, , интегрируя получаем:

 Ввиду свободы выбора ф-ии  можно принять с=1=> v=

Подставляя найденную ф-ию в ур-е  получаем: .

Получено уравнение с раздел.перем.Решаем его:

.

Возвращаясь к переменной у, получеам решение исходного ДУ

.сходного ДУ переменной у, получаем решение го поля. Нахождение потенциала по заданному примеру.

б)Метод Лагранжа

Рассмотрим однородное уравнение . Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, его решение:

Решения исходного уравнения будем искать в виде:

Подставив полученное решение в исходное уравнение: , получаем: cгде c1 — произвольная константа.

Таким образом, решение исходного уравнения можно получить путем подстановки c(x) в решение однородного уравнения: .

6)Уравнение Бернулли

Ур-е вида

Если n=0, то ДУ – линейное, а при n=1 – с раздел.переменными.

Данное ур-е решается двумя способами:

Первый способ

Заменой

, уравнение приводится к линейному  и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ

Заменим .

Тогда .

Подберем  так, чтобы было

.

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка.

После этого для определения  получаем уравнение

- уравнение с разделяющимися переменными.

7)Уравнение неразрешенное относительно  Метод введения параметра

 – относительно производной

a)

б)

в)

.

 где 𝜑 и 𝜓 известные ф-ии от  наз-ся ур-ем Лагранжа.

Введем вспомогат.параметр, положив у’=p. Тогда ур-е  примет вид: у=𝜑(p)+𝜓(p). Дифференц.по х, получим:

, т.е.  или - линейное ур-е относит.неизвестной , решив его найдем: . ............