Пространственное вращение

Пространственное вращение – один из важнейших видов периоди­ческого движения в стационарных квантовых системах. Напомним, что в классической механике наиболее рациональное описание такого дви­жения достигается при использовании сферической системы координат, с которой мы и начнём свой анализ.

Сферическая система координат

4.3.1.1. Сферическая система координат хорошо известна из географии и астрономии. Положение частица на сфере в этом случае определяется с помощью широты и долготы, которые задаются посредством двух углов    и , отсчитываемых относительно фиксированных осей, например, декартовых, как это показано на рис. 4.2. Вводя рас­стояние от центра вращения, переменный радиус r , получаем третью координату, необходимую для описания пространственного вращатель­ного движения

Шаровые координаты:

    
    
    

    
                                                               

                                                  Декартовы координаты:

                                                                                     (4.28)

                   Рис. 4.2. Сферическая система координат

При описании переменных данной задачи обязательно следует указать пределы их изменения

 или

 или

 или

4.3.1.2. Вычисление элемента объема в сферической системе ко­ординат проиллюстрируем рис. 4.2. Величина dV понадобится нам в дальнейших расчётах.                 

                                        (4.29)

4.3.2. Преобразование оператора Лапласа

4.3.2.1. Лапласиан – основа выражения оператора кинетической энергии   и, следовательно, гамильтониана . Поэтому проследим подробно всю схему его преобразования при замене декартовой системы координат на сферическую. С подобной , но более простой процеду­рой мы уже имели дело при рассмотрении плоского ротатора.

4.3.2.2. В теории поля лапласиан является скалярным произве­дением вектор-оператора Гамильтона "набла" самого на себя– скаляр­ным "квадратом" : Поэтому вначале преобразуем оператор "набла"

.                                (4.30)

В соответствии с (4.28) x,y,z  выражаются как функции сфе­рических координат, поэтому  производные, составляющие оператор "набла", предстанут в следующем виде

                       (4.31)

4.3.2.3. Наборы частных производных в  (4.30) образуют квадрат­ную матрицу коэффициентов, при умножении на которую происходит пе­реход от одного базисного вектор-столбца к другому:

                      (4.32)

Вычислим все производные, являющиеся элементами квадратной матрицы, дифференцируя выражения (4.28)

                         или

              (4.33)

Напомним, что перемножение матриц подчиняется правилу "строка на столбец". В итоге элементы искомого вектор-столбца предстанут в виде суммы:

            (4.34)

                              (4.35)

                                                   (4.36)

4.3.2.4. Следующий этап преобразований – построение оператора Лапласа в переменных .

         (4.37)

Для этого, согласно уравнению (4.35), необходимо перемножить сами на себя выражения операторов однократного дифференцирования по координатам  х,у,z через сферические переменные (4.32)–(.4.34) и затем взять сумму этих произведений. ............