Министерство образования и науки Украины

Донецкий национальный технический университет

РЕФЕРАТ

по высшей математике

на тему:

«Производная и ее применение в экономической теории»

Донецк – 2008

Вступление

Современный экономист должен хорошо владеть количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории. При этом важны как знания традиционных математических курсов (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей), так и знания, необходимые непосредственно в практической экономике и экономических исследованиях (математическая и экономическая статистика, теория игр, эконометрика и др.).

Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем.

Ф.Энгельс в своё время заметил, что "лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение". Поэтому целью моей работы является выяснить, каков экономический смысл производной, какие новые возможности для экономических исследований открывает дифференциальное исчисление, а также исследовать применение производной при решении различных видов задач по экономической теории.

1. Определение производной

Пусть функция y=f(х) определена в некоторой окрестности точки х0. Для любой точки х из этой окрестности приращение Dx определяется формулой Dx=х – х0, откуда х=х0+Dx.

Приращением функции y=f(x) в точке х0 называется разность

Dу=f(x) – f(x0)=f(x0+Dx) – f(x0).

Производной от функции у=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента (), когда приращение аргумента стремится к нулю (Dx→0).

Производная функции у=f(x) в точке х0 обозначается y'(х0) или f'(х0). Определение производной можно записать в виде формулы:

'()== .

Если функция в точке х0 имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой в точке х0. Если она дифференцируема во всех точках промежутка X, то говорят, она дифференцируема на всём этом промежутке.

Конечно,  может не существовать. В этом случае говорят, что функция f(x) не имеет производной в точке х0. Если  равен  или , то говорят, что функция f(x) имеет в точке х0 бесконечную производную (равную  или , соответственно).

1.1 Геометрический смысл понятия производной

Пусть на плоскости x0y дана непрерывная кривая y=f(x)(см. рис. 1).

Рассмотрим на графике кривой точки Mo(xo;f(xo)) и M1(xo+Dx; f(xo+Dx)). Проведем секущую MoM1. Пусть – угол наклона секущей MoM1 относительно оси 0х. Если существует предел , то прямая, проходящая через Mo и образующая с осью 0х угол , называется касательной к графику данной кривой в точке Mo. Таким образом, под касательной к кривой y=f(х) в точке Mo естественно понимать предельное положение секущей MoM1, к которому она стремится, когда Dx®0.

Пусть N(xo+Dx; f(xo)) – точка, дополняющая отрезок MoM1 до прямоугольного треугольника MoM1N. ............