Гимназия №1 города Полярные Зори Алгебра, геометрия, физика. Научная работа ТЕМА "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В АЛГЕБРЕ, ГЕОМЕТРИИ, ФИЗИКЕ". Руководители: Полуэктова Наталья Павловна, преподаватель алгебры, геометрии Конкин Александр Николаевич, преподаватель физики, астрономии Автор: Бирюков Павел Вячеславович. Полярные Зори Январь-май 2001 г. СОДЕРЖАНИЕ Производная функция: .........................................................................3 1. Производная функция .....................................................................3 2. Касательная к кривой .....................................................................5 3. Геометрический смысл производной ..................................................6 4. Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции .....7 Производные от элементарных функций: ................................................8 1. Производная постоянной ..................................................................8 2. Таблица элементарных производных ...................................................8 3. Правила дифференцирования ............................................................8 Изучение функций с помощью производной: ...........................................9 1. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций ........................9 2. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин ..........11 3. Максимум и минимум функции .......................................................12 4. Признаки существования экстремума ................................................12 5. Правило нахождения экстремума ......................................................14 6. Нахождение экстремума при помощи второй производной .....................14 7. Направление вогнутости кривой ......................................................16 8. Точки перегиба ............................................................................17 9. Механическое значение второй производной .......................................18 Дифференциал: .................................................................................19 1. Сравнение бесконечно малых ..........................................................19 2. Дифференциал функции .................................................................19 3. Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов ...21 4. Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям .......22 Примеры применения производной в алгебре, геометрии и физике ..........23 Список литературы .............................................................................34 Рецензия на работу ............................................................................35 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ Поставим своей задачей определить скорость, с которой изменяется величина у в зависимости от изменения величины х. Так как нас интересуют всевозможные случаи, то мы не будем придавать определенного физического смысла зависимости y=f(x), т.е. будем рассматривать величины х и у как математические. Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на отрезке [а, b]. Возьмем два числа на этом отрезке: х и х+?x; первое, х, в ходе всего рассуждения считаем неизменным, ?x - его приращением. Приращение ?x; аргумента обусловливает приращение ?у функции, причем:
    ?y=f(x+?x)-f(x). (I) Найдем отношение приращения ?у функции к приращению ?x аргумента:
    ?у/?x=(f(x+?x)-f(x))/ ?x. (II) По предыдущему, это отношение представляет собой среднюю скорость изменения у относительно х на отрезке [x, x+?x]. Будем теперь неограниченно приближать ?x к нулю. Для непрерывной функции f(x) стремление ?x к нулю вызывает стремление к нулю ?у, отношение (II) становится при этом отношением бесконечно малых, вообще величиной переменной. Пусть это переменное отношение (II) имеет вполне определенный предел(утверждать, что определенный предел отношения ?x/?у всегда существует нельзя), обозначим его символом f '(х).
    
     (III) С физической точки зрения этот предел есть значение скорости изменения функции f(x) относительно ее аргумента при данном значении х этого аргумента. ............