Задача 1

Магазин торгует подержанными автомобилями. Статистика их потребительских цен накапливается в базе данных. В магазин пригоняют на продажу очередную партию небольших однотипных автомобилей. Как назначить их цену? Статистический подход позволяет дать прогноз среднего значения цены и доверительных интервалов для него.

Цена автомобиля зависит от множества факторов. К числу объясняющих переменных можно отнести, например, модель автомобиля, фирму-производитель, регион производства (Европа, США, Япония), объем двигателя, фирму-производитель, регион производства (Европа, США, Япония), объем производителя, количество цилиндров, время разгона до 100 км/час, пробег, потребление горючего, год выпуска и т.д. Первые из названных переменных очень важны при ценообразовании, но они – качественные. Традиционный регрессионный анализ, рассматриваемый в этом задании, предназначен для количественных данных. Поэтому, не претендуя на высокую точность, не будем включать их в эконометрическую модель. Сделаем выборку, например, только для автомобилей одной фирмы-производителя. Пусть, например, оказалось, что продано n= 16 таких автомобилей. Для упрощения выберем из базы данных цены yi (i = 1......16) проданных автомобилей и только две объясняющие переменные: возраст хi1 (i = 1, …..16) в годах и мощность двигателя хi2 (i = 1, ….16) в лошадиных силах. Выборка представлена в таблице:

I номер

yi , цена, тыс. у.е.

хi1 возраст,лет

хi2, мощность двигателя

1

11 5,0 155 2 6 7,0 87 3 9,8 5,0 106 4 11 4,0 89 5 12,3 4,0 133 6 8,7 6,0 94 7 9,3 5,0 124 8 10,6 5,0 105 9 11,8 4,0 120 10 10,6 4,0 107 11 5,2 7,0 53 12 8,2 5,0 80 13 6,5 6,0 67 14 5,7 7,0 73 15 7,9 6,0 100 16 10,5 4,0 118

1. Построить поля рассеяния между ценой y и возрастом автомобиля х1, между ценой y и мощностью автомобиля x2. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости y от х1 и y от х2. Найти точечные оценки независимых параметров

а0а1 модели y = а0 + а1 х1 + ε и

β1β2 модели y = β0 + а1 х1 + δ

2. Проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также ценой и мощностью двигателя х2. Для этого рассчитать коэффициенты парной корреляции ryx1 и ryx2 и проверить их отличие от нуля при уровне значимости α = 0,1.

3. Проверить качество оценивания моделей на основе коэффициента детерминации, F- и t- критериев при уровне значимости α = 0,05 и α = 0,10.

4. Проверить полученные результаты с помощью средств Microcoft Excel.

5. С помощью уравнений регрессии рассчитать доверительные интервалы для среднего значения цены, соответствующие доверительной вероятности 0,9. Изобразить графически поля рассеяния, линии регрессии и доверительные полосы.

На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст х1 равен 3 года. Мощность двигателя х2 = 165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по моделям y = а0 + а1 х1 + ε и y = β0 + а1 х1 + δ с доверительной вероятностью 0,9.

Решение:

На основе поля рассеяния, построенного на основе табл. 1, выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цены y от возраста автомобиля x1 описывается линейной моделью вида

y = а0 + а1 х1 + ε

где а0 и а1 – неизвестные постоянные коэффициенты, а ε – случайная переменная (случайное возмущение), отражающая влияние неучтенных факторов и погрешностей измерений.

Рисунок 1 – Поле рассеяния «возраст автомобиля-цена»

Аналогично, на основе анализа поля рассеяния (рис. ............