Курсовая работа

"Представления конечных групп"

Содержание

 

Основные обозначения

Введение

1. Представления конечных групп

1.1 Представления групп 1.2 Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп 1.3 Лемма Шура 1.4 Соотношения ортогональности для характеров 1.5 Индуцированные представления 1.6 Произведение представлений

Заключение

Список использованных источников

Основные обозначения

 – группа

 – порядок группы

 – единичный элемент группы

 – единичная подгруппа, единичная группа

 – множество всех простых делителей натурального числа

 – множество всех простых делителей порядка группы

 – центр группы

 – подгруппа Фиттинга группы

 – подгруппа Фраттини группы

 – коммутант группы

 – централизатор подгруппы  в группе

 – нормализатор подгруппы  в группе

 – группа всех автоморфизмов группы

 – группа всех внутренних автоморфизмов группы

 - является подгруппой группы

 –  является собственной подгруппой группы

 –  является максимальной подгруппой группы

 –  является нормальной подгруппой

 –  является субнормальной подгруппой группы

 –  является минимальной нормальной подгруппой группы

 – индекс подгруппы  в группе

 – прямое произведение подгрупп  и

 – полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы

Введение

В данной работе приведены доказательства следующих теорем:

Теорема. Непустое подмножество  группы  будет подгруппой тогда и только тогда, когда  и  для всех .

Группой называется непустое множество  с бинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет следующим требованием:

1) операция определена на , т.е.  для всех ;

2) операция ассоциативна, т.е.  для любых ;

3) в  существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что  для всех , что  для всех ;

4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого  существует такой элемент , что .

Более кратко: полугруппа с единицей, в которой каждый элемент обладает обратным, называется группой.

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой. Если  – конечное множество, являющиеся группой, то  называют конечной группой, а число  элементов в  – порядком группы .

Подмножество  группы  называется подгруппой, если  – группа относительно той же операции, которая определена на . Запись  означает, что – подгруппа группы , а  – что – собственная подгруппа группы , т.е.  и .

Централизатор. Пусть  – непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества  в группе  и обозначается через .

Лемма

1. Если  – подмножество группы , то централизатор  является подгруппой.

2. ............