Федеральное агентство по образованию РФ.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Забайкальский государственный гуманитарно-педагогический университет им. Н. Г. Чернышевского.

Физико-математический факультет кафедра фундаментальной и прикладной математики, теории и методики обучения математике.

Курсовая работа

«Ряды Фурье»

Выполнил: Студент 131 группы

Гаврутенко А.В.

Научный руководитель: профессор кафедры фундаментальной и прикладной математики,

теории и методики обучения математике

Менчер А.Э.

Чита 2009

Оглавление

Введение Определение коэффициентов по методу Эйлера-Фурье Ортогональные системы функций Интеграл Дирихле Принцип локализаци Представление функций рядом Фурье Случай непериодической функции Случай произвольного промежутка Случай четных и нечетных функций Примеры разложения функций в ряд Фурье Список использованной литературы
Введение

В науке и технике часто приходиться иметь дело с периодическими явлениями, т. е. такими, которые воспроизводятся в прежнем виде через определенный промежуток времени Т, который называется периодом. Например, движение паровой машины повторяется, после того как пройдет полный цикл. Различные величины, связанные с периодическим явлением, по истечении периода Т возвращаются к своим прежним значениям и представляют собой периодические функции от времени t с периодом Т.

Если не считать постоянной, то простейшей периодической функцией является синусоидальная величина: , где  есть частота, связанная с периодом Т соотношением:

.

Из подобных простейших периодических функций могут быть составлены и более сложные. Ясно, что составляющие синусоидальные величины должны быть разных частот, иначе их сложение не дает ничего нового, а вновь приводит к синусоидальной величине, причем той же частоты. Если же сложить величины вида:

 (1)

которые имеют разные частоты

,

то получится периодическая функция, но уже существенно отличающаяся от величин, входящих в сумму.

Рассмотрим для примера сложение трех синусоидальных величин:

На рисунке мы видим, что график функции полученной в результате сложения трех синусоидальных величин (показан сплошной линией) уже значительно отличается от синусоиды. В большей степени это имеет место для суммы бесконечного ряда величин вида (1).

Теперь возникает обратный вопрос: можно ли данную периодическую функцию представить в виде суммы конечного или бесконечного множества синусоидальных величин вида (1).

Как будет показано ниже, на этот вопрос можно ответить удовлетворительно, но только лишь используя бесконечную последовательность величин вида (1). Для функций некоторого класса имеет место разложение в «тригонометрический ряд»:

 (2)

С геометрической точки зрения это означает, что график периодической функции получается путем наложения ряда синусоид. Если же каждую синусоидальную величину истолковать механически как представляющую гармонические колебательные явления, то можно сказать, что здесь сложное колебание разлагается на отдельные гармонические колебания. Исходя из этого, отдельные синусоидальные величины, входящие в состав разложения (2), называют гармоническими составляющими функции или просто ее первой, второй и т. ............