Содержание
Задание 1
Задание 2
Список литературы
Вариант 6
Задание 1
Имеются данные, характеризующие выручку (у, млн. руб.) предприятия «АВС» в зависимости от капиталовложений (х, млн. руб.) за последние 10 лет (табл. 1).
Таблица 1
Время, t 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Выручка, у 3,0 2,9 3,0 3,1 3,2 2,8 2,9 3,4 3,5 3,6
Объем капитало-
вложений, х
1,1 1,1 1,2 1,4 1,4 1,4 1,3 1,6 1,3 1,4
1. Построить поле корреляции.
2. Найти параметры уравнения линейной регрессии ; дать экономическую интерпретацию параметров а и b.
3. Составить уравнения нелинейных регрессий:
· гиперболической ;
· степной ;
· показательной
4. Для каждой из моделей:
- найти коэффициент парной корреляции (для нелинейных регрессий – индекс корреляции);
- найти коэффициент детерминации;
- проверить значимость уравнения регрессии в целом с помощью F – критерия Фишера;
- найти среднюю относительную ошибку аппроксимации.
5. Составить сводную таблицу вычислений; выбрать лучшую модель; дать интерпретацию рассчитанных характеристик.
6. По лучшей модели составить прогноз на следующие два года показателя у (выручка), если х (объем капиталовложений) увеличивается на 10% по сравнению с последним годом.
7. Построить графики уравнений регрессии; отметить точки прогноза.
РЕШЕНИЕ:
1. ПОСТРОИМ ПОЛЕ КОРРЕЛЯЦИИ
Поле корреляции – точечный график, осями X и Y которого сопоставлены изучаемые признаки (рис. 1).
Рис. 1
Точки на графике поля корреляции находятся довольно хаотично, что говорит о слабой зависимости объема капиталовложений Х и выручки Y.
2. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ
Расчет неизвестных параметров выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая ее, относительно неизвестных параметров а и b.
Система нормальных уравнений имеет вид:
Необходимые расчеты представлены в таблице 2.
Построена линейная модель зависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений:
В линейном регрессии коэффициент регрессии показывает направление связи между переменной Y и фактором X. А также, указывает насколько в среднем изменяется значение результативного признака Y, если фактор увеличить на единицу измерения.
b = 0,843, т.е. при увеличении объема капиталовложений (Х) на 1 млн. руб. выручка предприятия (Y) в среднем увеличится на 0,843 млн. руб.
Таблица 2
Вспомогательные вычисления для нахождения параметров линейной модели
t Y X
X2
X*Y 1998 3,0 1,1 1,21 3,3 1999 2,9 1,1 1,21 3,19 2000 3,0 1,2 1,44 3,6 2001 3,1 1,4 1,96 4,34 2002 3,2 1,4 1,96 4,48 2003 2,8 1,4 1,96 3,92 2004 2,9 1,3 1,69 3,77 2005 3,4 1,6 2,56 5,44 2006 3,5 1,3 1,69 4,55 2007 3,6 1,4 1,96 5,04 Σ 31,4 13,2 17,64 41,63
3. РАССЧИТАЕМ:
- коэффициент парной корреляции.
Коэффициент парной корреляции показывает направление и тесноту линейной связи.
Т. е. связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия прямая и слабая.
Таблица 3
Вспомогательная таблица для расчета коэффициента парной корреляции, средней относительной ошибки аппроксимации
t Y X
A 1998 3,0 1,1 0,048 0,020 0,031 2,955 0,015 1999 2,9 1,1 0,048 0,058 0,053 2,955 0,019 2000 3,0 1,2 0,014 0,020 0,017 3,039 0,013 2001 3,1 1,4 0,006 0,002 -0,003 3,207 0,035 2002 3,2 1,4 0,006 0,004 0,005 3,207 0,002 2003 2,8 1,4 0,006 0,116 -0,027 3,207 0,146 2004 2,9 1,3 0,000 0,058 0,005 3,123 0,077 2005 3,4 1,6 0,078 0,068 0,073 3,376 0,007 2006 3,5 1,3 0,000 0,130 -0,007 3,123 0,108 2007 3,6 1,4 0,006 0,212 0,037 3,207 0,109 Σ 31,4 13,2 0,216 0,684 0,182 0,530
коэффициент детерминации
Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака Y под влиянием фактора Х, включенного в модель.
22,42% изменения выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений, на 77,58% влиянием прочих факторов, не учтенных в модели.
Рис. ............
