Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении Расчетная работа Выполнил Шеломанов Р.Б. Кафедра математической статистики и эконометрики Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Москва 1999 ЗАДАНИЕ № 23
    Продолжительность горения электролампочек (ч) следующая:
     750 750 756 769 757 767 760 743 745 759 750 750 739 751 746 758 750 758 753 747 751 762 748 750 752 763 739 744 764 755 751 750 733 752 750 763 749 754 745 747 762 751 738 766 757 769 739 746 750 753 738 735 760 738 747 752 747 750 746 748 742 742 758 751 752 762 740 753 758 754 737 743 748 747 754 754 750 753 754 760 740 756 741 752 747 749 745 757 755 764 756 764 751 759 754 745 752 755 765 762
    По выборочным данным, представленным в заданиях №1-30, требуется:
    1* Построить интервальный вариационный ряд распределения;
    Построение интервального вариационного ряда распределения
    Max: 769
    Min: 733
    R=769-733=36
    H= R / 1+3,32 lg n=36/(1+3,32lg100)=4,712
    A1= x min - h/2=730,644
    B1=A1+h; B2=A2+h
    
    
    2* Вычислить выборочные характеристики по вариационному ряду:
    среднюю арифметическую (x ср.), центральные моменты (мю к, к=1,4), дисперсию (S^2), среднее квадратическое отклонение (S), коэффициенты асимметрии (Ас) и эксцесса (Ек), медиану (Ме), моду (Мо), коэффициент вариации(Vs);
    
    Вычисление выборочных характеристик распределения
    
    ?i=(xi- xср)
    xср =? xi mi/? mi
    xср = 751,7539
    
    Вспомогательная таблица ко второму пункту расчетов
    
    
    Выборочный центральный момент К-го порядка равен
    
    M k = ( xi - x)^k mi/ mi
    
    В нашем примере: Центр момент 1 0,00 Центр момент 2 63,94 Центр момент 3 -2,85 Центр момент 4 12123,03
    Выборочная дисперсия S^2 равна центральному моменту второго порядка:
    В нашем примере:
    S^2= 63,94
    Ввыборочное среднее квадратическое отклонение:
    В нашем примере:
    S= 7,996
    Выборочные коэффициенты асимметрии Ас и эксцесса Fk по формулам
    Ac = m3/ S^3;
    В нашем примере:
    Ас =-0,00557
    Ek = m4/ S^4 -3;
    В нашем примере:
    Ek = -0,03442
    Медиана Ме - значение признака x (e), приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений ( n = 2l -1). При четном числе наблюдений( n= 2l) медианой Ме является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда: Me=( x(e) + x( e+1) /2
    Если исходить из интервального ряда, то медиану следует вычислять по ормуле
    Me= a me +h * ( n/2 - mh( me-1) / m me
    где mе- означает номер медианного интервала, ( mе -1) - интервала, редшествующего медианому.
    В нашем примере:
    Me=751,646
    Мода Мо для совокупности наблюдений равна тому значению признака , которому соответствует наибольшая частота.
    Для одномодального интервального ряда вычисление моды можно производить по формуле
    Mo= a mo + h * ( m mo- m(mo-1))/2 m mo- m( mo-1) - m( mo+1)
    где мо означает номер модального интервала ( интервала с наибольшей частотой), мо-1, мо+1- номера предшествующего модальному и следующего за ним интервалов.
    В нашем примере:
    Mo = 751,49476
    Так как Хср, Mo Me почти не отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным.
    Коэффициент вариации Vs = S/ x * 100 %= 3.06%
    В нашем примере:
    Vs= 1,06%
    
    3* Построить гистограмму, полигон и кумуляту.
    
    Графическое изображение вариационных рядов
    
    Для визуального подбора теоретического распределения, а также выявления положения среднего значения (x ср.) и характера рассеивания (S^2 и S) вариационные ряды изображают графически.
    Полигон и кумулята применяются для изображения как дискретных, так и интервальных рядов, гистограмма - для изображения только интервальных рядов. ............