Основные задачи вычислительной математики. Теория погрешностей. Приближённое вычисление значений функций заданных аналитически. Оценка погрешности вычислений.

Работа современного инженера, физика и любого другого исследователя связана с моделированием сложных процессов, происходящих в разных областях знаний и деятельности человека. Зачастую, моделирование является средним звеном в разработке проекта и его внедрения в производство. Процесс проектирования можно представить схематически: (рис 1).

рис 1.

Для исследования свойств построенной математической модели, в большинстве случаев, не удаётся аналитически решить задачу. Поэтому, вступают в силу методы вычислительной математики, которые позволяют решение каждой задачи довести до числового результата и оценить точность производимых вычислений.

При работе с приближёнными величинами приходится решать следующие задачи:

а) давать математические характеристики точности приближённых величин;

б) оценивать точность результата, когда известна точность исходных данных;

в) находить точность исходных данных, обеспечивающую заданную точность результата;

г) согласовывать точность исходных данных с тем, чтобы не затрачивать излишней работы при отыскании или вычислении одних данных, если другие данные слишком грубы;

а) Определение: абсолютная погрешность - это абсолютная величина разности между точным значением величины  и её приближённым значением :

                                               (1.1)

Здесь следует различать два случая:

-           точное значение числа  нам известно, что на практике очень редко, тогда пользуемся формулой  (1.1).

Пример 1:  а=5.129  а*=5.128,  тогда ;

  - точное значение числа  неизвестно, тогда вводят понятие предельной абсолютной погрешности.

Определение: предельной абсолютной погрешностью приближённого числа называют всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа.

Таким образом, если  - предельная абсолютная погрешность приближённого числа , то

                                             (1.2)

отсюда следует, что

                                               (1.3)

Значение предельной абсолютной погрешности, обычно, подбирается интуитивно по смыслу задачи.

Пример 2: Определить предельную абсолютную погрешность числа , заменяющего число , точное значение которого нам неизвестно.

Так как мы знаем, что , то можем утверждать:

                           (1.4)

и, следовательно, , т.е. можем сказать, что

                                               (1.5)

Понятия абсолютной погрешности и предельной абсолютной погрешности, хотя и дают представление о точности вычислений, однако не всегда достаточны.

Например: если при измерении длины стержней получены результаты: <l1 и l2>, то, несмотря на совпадение предельных абсолютных погрешностей, качество первого измерения выше второго, т.к. если погрешность близка по величине от самого приближённого числа, то точность этого измерения недостаточна. Изданного примера понятно, что для оценки качества измерения, нам нужна абсолютная погрешность, приходящаяся на единицу длины. ............