Министерство образования Российской Федерации
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Обратимые матрицы над кольцом Zn
Выполнила:
Студентка V курса
Математического факультета
Сычева О. Г.
Научный руководитель:
д.ф.-м.н., профессор
Вечтомов Е. М.
Рецензент:
к.ф.-м.н., доцент
Чермных В. В.
Допущена к защите в ГАК
Зав.кафедрой Вечтомов Е М.
« »
Декан факультета Варанкина В. И.
« »
Киров 2003
Содержание:
Введение………………………………………….…………………….2 стр.
§1 Основные понятия………………………………………………….3 стр.
§2 Обратимые матрицы над полем Zp
п.1 формула для подсчета обратимых матриц порядка 2 ……….10 стр.
п.2 формула для подсчета обратимых матриц порядка 3 ……….11 стр.
п.3 общая формула подсчета обратимых матриц над полем Zp ..16 стр.
§3 Обратимые матрицы над Zn ………………………………………17 стр.
Литература …………………………………………………………….27 стр.
Введение
Теория матриц является одним из основных вопросов линейной алгебры.
Цель данной работы: подсчитать количество обратимых матриц над кольцом вычетов и по возможности получить формулу для их вычисления. Для вычисления количества обратимых матриц воспользовались теорией определителей и полным перебором всех возможных вариантов получения элементов в кольцах вычетов.
Вся работа разбита на два этапа:
В §2 показан метод построения обратимых матриц второго и третьего порядков над полем Zp . В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц n–го порядка над полем Zp .
В §3 приведен алгоритм построения обратимых матриц второго порядка над некоторыми кольцами вычетов (приведены конкретные примеры). В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц второго порядка над кольцом классов вычетов Zn .
§1. Основные определения.
Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами. Чаще всего рассматриваются матрицы, заполненные элементами из некоторого поля P.
Элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, указывающими "адрес" элемента - первый индекс дает номер строки, содержащий элемент, второй - номер столбца. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размерность (или - размеров ). Мы будем обозначать матрицы заглавными латинскими буквами, а ее элементы - такими же буквами, но строчными. Таким образом, матрица (размеров ) записывается в форме:
.
Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой.
Будем обозначать ее 0.
Матрица, имеющая одно и то же число n строк и столбцов, называется квадратной. Число n называется порядком квадратной матрицы.
Элементы матрицы, у которых оба индекса равны (i=j) называются диагональными, а воображаемая прямая, соединяющая все диагональные элементы матрицы называется главной диагональю. ............
