Федеральное агентство по образованию
Среднего профессионального образования
«Профессиональный лицей №15»
Кафедра: Станочник (металлообработка)
Контрольная работа
по курсу: «Математика»
на тему: «Область определения функции»
Выполнил студент гр. Т 102
Бахирев Я.А.
Проверил: Корнилова Н.Г.
Воткинск
2010
1. Решить неравенство
x2 – 3x+5
x-1
Решение.
Для решения неравенств, правая часть которых – нуль, а левая – алгебраическая дробь, т.е., неравенств вида используем метод интервалов.
Обозначим f(x) x2-3x+5 и найдем область определения
x-1
D(f) функция f (x). Для этого определим нули знаменателя функции:
x-1=0, x=1, D(f)=(-; 1) (1;).
Найдем нули функции f (x). Для этого решим уравнение:
x2- 3x+5 x2-3x+5=0 (1)
x-1x-1=0 (2)
Решая уравнение (1), получим:
x2- 3x+5=0, D= (-3)2-4 1 5=9-20<0 – уравнение не имеет решений.
Функция f(x) непрерывна на множестве D (f) и не имеет нулей. Точка 1 разбивает область определения на промежутки знакопостоянства значений функции. Определим знак значения функции f (x) на каждом промежутке знакопостоянства.
Для этого достаточно определить знак значения функции в любой точке промежутка:
f(0) 02-3 0+5 f (2)= 22-3 2+5
0-1 2-1
Отметим, для наглядности, на рисунке промежутки знакопостоянства значений функции f (x) и запишем решения данного неравенства:
f (x) < 0 f (x)>0
f (x) > 0, x c (1;).
Ответ: (1;).
2. Решить неравенство
Log5(3x+1)<2
Решение.
Используя свойства логарифмов положительных чисел
loga a=1
m loga b =loga bm
преобразуем неравенство к простейшему логарифмическому неравенству вида
loga f (x) < loga g(x)
Log5(3x+1)<2, log5(3x+1)<2log55, log5(3x+1)<log552.
При a>1 функция y=loga t в области определения D(loga), задаваемой неравенством t > 0, монотонно возрастает, то есть, если t1>t2>0, то loga t1 > loga t2. Учитывая это, запишем затем, используем формулу перехода от простейшего логарифмического неравенства к двойному неравенству:
Если a > 1, то
Loga f(x) < loga g(x) ó 0 < f(x) < g(x)
log5(3x+1) < log552, 0 < 3x + 1 < 52, -1 < 3x < 25 - 1,
11
3 < x < 8, x с 3; 8.
1
Ответ: 3; 8.
3. Найдите все решения уравнения
sinx cosx – v3cosx = 0, принадлежащие отрезку |0; 2 п|.
Решение.
Разложим на множители левую часть уравнения и, учитывая условие задачи, что x с |0; 2п|, в результате получим следующую систему:
sinx cosx – v3cosx=0, cosx(sinx-v3)=0.
|cosx=0
|sinx-v3=0
0<x<2п
Используя формулу решения простейшего тригонометрического уравнения
cosf(x)=0ó f(x)=п +пn, n c Z 2
Решим уравнение (1):
cosx=0, x=п+пn, n с Z
Подставляя (4) в двойное неравенство (3), получим:
0< п +пn<2п, п <пn<2п п
222, п < пn < 3п 1 < n < 3
2 п п 2 п, 2 2.
Так как n с Z, то n=0 и n =1. ............
