Бабаев Х.

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского

для смешанно-составного уравнения.

РЕФЕРАТ

В данной работе для смешанно-составного уравнения ставится и исследуется одна нелокальная краевая задача, которая является некоторым аналогом задачи Бицадзе-Самарского. Единственность решения изучаемой задачи доказывается принципом максимума, а существование решения доказывается сведением изучаемой задачи к эквивалентному ей интегральному уравнению.

Библиография 4 названия

 

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского

для смешанно-составного уравнения

 

В первые в работе [1] была поставлена и иcследована нелокальная краевая задача для элиптического уравнения, которая является обобщением задачи Дириxле. В данной работе иcследуется один из аналогов этой задачи для уравнения.

Пусть: Д область ограниченная отрезками OB, BE, AE, OC, AC, прямыx x=0, y=1, x=1, x+y=0, x-y=1, где А, B, O, C, E точки с координатами (1;0), (0;1), (0;0), (;), (1;1) соответственно.

Задача. Найти регулярное в области Д/OА решение уравнения (1) довлетворяющее краевым

                                                                                (2)

                                                                                (3)

                                                                                (4)

                                                                                (5)

условиям и условиям склеивания

                                            (6)

Где -задание функции, причем -известные постоянные; постоянная β удовлетворяет неравенству -внутренняя нормаль.

Любое регулярное решение уравнения (1) в области

 представлено в виде

                                                                                     (7)

где z(X,У)-регулярное решение уравнения

                                                                                     (8)

W (y)-дважды непрерывно дифференцируемая функция.

Без ограничения общности можно предположить, что W (0)=0б W (1)=0, сперва приводим доказательство единственности решения изучаемой задачи.

 

Теорема. Если  то функция U (Х,У)=0 в области Д.

Доказательство. На основании (2), (7) задача редуцируется к определению регулярного решения уравнения (8) при У>0 удовлетворяющего краевым условиям

φ(У)-W(У),  Z()=φ(У)-W(У)

 где U(1,У)= φ(У),   U()=φ(У)                          (9)

Из (6) следует

                      

Учитывая (3) и условие (9) получим:

                        L φ(x)

общее решение уравнения (1) в области Д={(x,y)Є D, y<0}даётся известной формулой Даламбера

          

реализуя условие (10) из (11) имеем

               φ(x)

или     φ(x)-

отсюда  φ(x+y)-

тогда из (11) получим U(X,Y)= φ(X+Y)-           (12)

Используя (4) (ψ(X)≡0) из (12) найдем

       φd+φ                         (13)

дифференцируя выражение (13) имеем

   φ+φ=0

разделяя на (x)≠0 получим

φ(x)+ φ=0                                                        (14)

предпологая

имеем:φ(x)-L(x) φ(βx)=0                                                  (15)

функциональное уравнение (15) не имеет нетривиальных решений.

Действительно применяя метод итерации находим

                                                 φ(х)=L(х)φ(βx)

                                                 φ(βx)=L(βx)·φ()

                                                 φ(βx)=L(βx) φ(βx)

из этих равенств имеем

                                 φ(х)=L(x)L(βx)…L(βx)φ(βx)           (16)

                                 (0≤x≤1)

из (16) следует, что при n→∞ функция φ(х)≡0

Следовательно из (12) получим

    U(X,Y)= -(1)+ (X-Y)

Отсюда

Или

Обозначим U(X,1)=ψ(X). ............