О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и об упущенных возможностях Д. Фукс
    Сколько раз каждому из вас доводилось раскрывать скобки в произведении? Тысячи, а может быть, десятки тысяч? Если и есть в этом занятии что-нибудь привлекательное, так это надежда, что результат умножения, после приведения подобных членов, примет благоприятный вид, как, скажем,
    (a + b)(a - b) = a2 - b2,
    (1 - a)(1 + a + ... + an ) = 1 - an+1.
    Ниже пойдёт речь о подобных равенствах, только гораздо менее очевидных и гораздо более глубоких. Они составляют результат более чем двухсотлетней работы крупнейших математиков мира. Своим читателям я посоветую вооружиться ручкой и бумагой и повторять за мной все выкладки: это поможет не только понять содержание статьи, но и оценить степень нетривиальности её результатов. 1. Тождество Эйлера
    В середине XVIII века - дело было в 1748 году или несколькими годами раньше - Леонард Эйлер заинтересовался коэффициентами многочлена
    ?n(x) = (1 - x)(1 - x2)(1 - x3)...(1 - xn).
    Он раскрыл скобки в произведении - и получил поразительный результат. Проделаем эту выкладку и мы: ?1(x) = 1 - x , ?2(x) = 1 - x - x2 + x3 , ?3(x) = 1 - x - x2 + x4 + x5 - x6 , ?4(x) = 1 - x - x2 + 2x5 - x8 - x9 + x10 , ?5(x) = 1 - x - x2 + x5 + x6 + x7 - x8 - x9 - x10 ... , ?6(x) = 1 - x - x2 + x5 + 2x7 - x9 - x10 ... , ?7(x) = 1 - x - x2 + x5 + x7 + x8 - x10 ... , ?8(x) = 1 - x - x2 + x5 + x7 + x9 ... , ?9(x) = 1 - x - x2 + x5 + x7 + x10 ... , ?10(x) = 1 - x - x2 + x5 + x7 ... .
    Многоточия обозначают части многочленов ?n(x), содержащие x в степенях, больших 10 (выписать эти многочлены полностью не позволяет формат журнала: многочлен ?10(x), например, имеет степень 55).
    Начнём с очевидного, но важного наблюдения: коэффициенты многочлена ?n(x) с ростом n "стабилизируются", то есть каждый из них начиная с некоторого n не меняется. Это легко объяснить: переход от ?n-1(x) к ?n(x), состоящий в умножении на 1 - xn, не оказывает никакого воздействия на коэффициенты при 1, x, ..., xn-1, так что при n > k коэффициент при xk в многочлене ?n(x) от n не зависит. (Например, вычисленная часть многочлена ?10(x) не изменится, если вместо ?10 взять ?11, ?12 и т.д.) Ввиду этого мы можем говорить о "бесконечном произведении"
    ?(x) = (1 - x)(1 - x2 )(1 - x3 )(1 - x4 )...,
    понимая под этим, конечно, не многочлен, а степенной ряд, то есть выражение вида
    a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + ...,
    где a0, a1, a2, a3, a4... - числа; в нашем случае a0, a1, a2, a3, a4 - стабилизирующиеся коэффициенты. Наше вычисление показывает, что
    a0 = a5 = a7 = 1,
    a1 = a2 = -1,
    a3 = a4 = a6 = a8 = a9 = a10 = 0.
    ?(x) называется функцией Эйлера.
    Слово "функция" здесь употреблено не случайно: при -1 < x < 1 значения ?(x) можно вычислить (подобно тому, как вычисляют сумму бесконечной геометрической прогрессии).
    Теперь - главное. После раскрытия наших скобок очень многое уничтожается, можно сказать - почти всё. Например, результат раскрытия скобок в произведении (1 - x)(1 - x2 )...(1 - x10 ) содержит до приведения подобных 43 слагаемых с x в степенях, меньших или равных 10, в том числе 24 слагаемых с x в степенях 8, 9, 10. После приведения подобных из этих 43 слагаемых остаётся всего 5, в том числе ни одного с x в степенях 8, 9, 10. Более точно, как мы видели, среди коэффициентов a0, a1, a2, ..., a10 три равны 1, два равны -1 и шесть равны 0. Выскажем осторожную гипотезу: коэффициенты ak всегда равны 0, 1 или -1, причём большинство из них равно 0. ............