О прекрасном в теорфизике: дуальность Что такое симметрия
    Игорь Иванов
    Хочу вот рассказать о таком красивом явлении в теорфизике, как дуальность.
    Но сначала -- о симметрии. Симметрия, в самом широком смысле, это независимость чего-либо (фигуры, формулы, уравнения или всей теории) при каком-то определенном преобразовании. Симметрию геометрической фигуры относительно вращения, отражения и т.д. интуитивно все понимают. Пример симметричного уравнения: x + 1/x = 1, ведь форма этого уравнения не изменится, если вместо переменной x ввести переменную y=1/x (т.е. получится y + 1/y=1). Симметрия теории -- концепция чуть более сложная, но ее можно представить себе на примере географии. Если взять материки и переставить их на глобусе, то сама наука физической географии от этого не изменится: ведь типичные структуры рельфа не изменились.
    Для симметрии важно, что подобное обменивается с подобным, точки переходят в точки, а линии -- в линии. Что такое дуальность
    Оказывается, есть ситуации, когда можно совершить кощунственную операцию -- менять местами совершенно разные вещи. И теория от этого не изменится! Или же, как вариант, это будет та же теория в какой-то другой ситуации.
    Простой геометрический пример. Представьте себе на плоскости три равноудаленные точки (в виде вершин равностороннего треугольника), и три прямые, проходящие через каждую пару точек.
    Каждая точка обладает свойством: она принадлежит ровно двум прямым, и каждая прямая обладает свойством: она пересекает ровно через две точки.
    (Никакие другие точки прямой и плоскости пока не рассматриваем.)
    Теперь получается удивительная вещь: если на эти прямые взглянуть как на "точки" какого-то совсем абстрактного пространства, тогда то, что было раньше точками, теперь играет роль "прямых" этого абстрактного пространства. Все, что надо поменять местами, это слова "принадлежит" и "пересекает".
    Это и есть дуальность. На абстрактном языке: пусть некий объект состоит из элементов типа A и типа B (которые, возможно, связаны какими-то отношениями). Объект обладает дуальностью, если мы можем поменять элементы типа A на элементы типа B и наоборот, а также переопределить отношения, и в результате снова получится новый объект с той же самой структурой.
    На том же географическом примере: если океаны поменять на материки и наоборот (т.е. поменять местами глубину и высоту), то облик нашего мира, конечно, изменится, но сама наука физической географии и от этого не изменится!
    Небольшая оговорка -- описанная выше ситуация обычно называется самодуальностью. А просто дуальность -- это когда после преобразования дуальности получаем другой (но все же правильно определенный) объект.
    Дуальность обладает важным свойством: дуальный объект к дуальному -- это тождественно тот же самый объект. (Убедитесь на примере треугольника). Т.е. двукратное применение дуальности -- это тождественное преобразование (т.е. каждый элемент объекта остается самом собой). В отличие от этого, симметрия -- это просто тождественное преобразование "сути" объекта, ведь каждый элемент при этом свою "сущность" не меняет (точки остаются точками, линии -- линиями).
    Совсем уж абстрактно можно сказать, что "симметрия" и "дуальность" -- два решения некоего совершенно абстрактного уравнения: x2 = 1. ............