Неопределённые уравнения первой степени Введение в неопределённые уравнения
    Когда мы обдумываем решение той или иной задачи, необходимо обращать внимание на то, какие в ней используются величины. Целые или дробные? Положительные или отрицательные? Ведь незначительная деталь помогает не только устранить ошибку в решении той или иной задачи, но и найти само решение. Разберем это на примере.
    Пусть у Миши (заранее извиняюсь, если посетитель сайта Михаил) есть пятирублёвые и ,допустим, восьмирублевые монеты. Всего их на сумму тридцать девять рублей. Сколько монет по пять рублей и сколько по восемь у Миши.
    Кажется, что тут не хватает данных, если, например, через x обозначить кол-во 5-рублёвых монет, а за y - 8-рублёвых монет, то условие самой задачи позволяет написать одно единственное уравнение:
    
    Эти и другие уравнения и их системы, в которых число неизвестных превышает число уравнений, называют неопределёнными.
    Из условия видно, что кол-во монет не может измеряться нецелыми или отрицательными числами. Значит, если x - целое неотрицательное число, то и:
    
    должно быть неотрицательным и целым. А значит, нужно, чтобы выражение 39 - 5x без остатка делилось на 8. С помощью подбора можно убедится, что это возможно при x = 3. Отсюда, y = 3.
    Перебор вариантов не удобен, когда мы работаем с большими числами. Гораздо лучше воспользоваться методом рассевания или методом спуска, который придумали древнеиндийские математики. О методе спуска будет сказано чуть ниже. Метод спуска (материал взят из энциклопедии Аванта+ "Математика")
    Продолжим рассмотрение неопределённого уравнения вида:
    
    где a, b, c - известные целые коэффициенты.
    Разберём это всё на знакомом примере:
    
    Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент, и выразим его через другое неизвестное:
    
    Теперь выделим целую часть:
    
    Всё число будет целым, если целым окажется значение (4 - 3у)/5. Это возможно лишь тогда когда число (4 - 3у) без остатка делится на 5. Вводя дополнительную целочисленную переменную z, последнее условие запишем в виде
    
    Мы пришли к уравнению такого же типа, как и исходное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его теперь нужно относительно переменных y и z.
    Продолжаем действовать всё по тому же принципу:
    
    Для того чтобы у оказалось целым, необходимо, чтобы число 1 - 2z без остатка делилось на 3: 1 - 2z = 3u (вновь введена дополнительная переменная u, принимающая только целые значения). Отсюда по уже отработанной схеме получаем:
    
    Продолжим... Число z будет целым, если число 1 - u без остатка делится на 2: 1 - u = 2v, где v - произвольное целое. Отсюда u =1 - 2v. Дробей больше нет, спуск закончен.
    Осталось теперь благополучно "подняться вверх". Выразим через переменную v сначала z, потом у и, наконец, х:
    
    
    
    Формулы х = 3 + 8v, y = 3 - 5v представляют общее решение исходного уравнения в целых числах. А если нас интересуют только неотрицательные целые числа, то среди всех целых решений нужно выбрать такие, для которых
    
    
    и, стало быть,
    
    Совместно эти неравенства могут выполняться лишь при v = 0. ............