Некоторые свойства многогранника. Задачи о P-медиане Г.Г. Забудский, Институт информационных технологий и прикладной математики СО РАН 1. Постановка задачи и определения
    Задачи оптимального размещения объектов имеют много практических приложений. Описываются различные постановки таких задач [1-8]. В данной статье рассматривается известная NP-трудная задача оптимального размещения на графе - задача о p-медиане [1,7-8]. Для ее исследования здесь применяется подход, развиваемый в работах А.А. Колоколова и других [2,4-7,9] для анализа и решения задач целочисленного программирования, основанный на разбиении допустимой области соответствующей непрерывной задачи. В данной работе рассматривается L- разбиение.
    Задача о p-медиане сводится к простейшей задаче размещения (ПЗР). Сводимость не гарантирует сохранения некоторых свойств. Например, многогранник ПЗР - квазицелочисленный, а многогранник задачи о p- медиане в общем случае является только связноцелочисленным (квазицелочисленным при p = 1, n-1, где n - число вершин графа) [1].
    В работе [2] доказано, что многогранник ПЗР имеет альтернирующую L-структуру. В данной статье показано, что многогранник задачи о p-медиане также имеет альтернирующую L -структуру.
    Рассматривается целочисленная модель задачи о p- медиане:
     (1) где n - количество вершин графа; dij - кратчайшее расстояние между i-й и j- й вершинами графа; p- количество размещаемых объектов. Диагональными будем называть элементы вектора x = (x11,x12,...,xnn) с одинаковыми индексами, а медианными - диагональные, принимающие значение 1. Переменная xij = 1, если вершина j"прикреплена" к вершине i. Условия (4) гарантируют прикрепление только к медианным вершинам. Если условия (5) заменить линейными неравенствами
     (2) то ограничения (2)-(4),(6) задают многогранник в пространстве размерности n2. Обозначим его через Mp.
    Введем определение L-разбиения . Пусть Zk- множество всех k-мерных целочисленных векторов. Тогда L-разбиение непустого множества ??Rk определим следующим образом:
    1) каждая точка z?Zk образует отдельный класс;
    2) нецелочисленные точки x и y эквивалентны, если ?(x) = ?(y) и [xi=yi, i =1,...,(x)-1, [x?(x)] = [x?(x)] , где?(x) - номер первой дробной, [a] - наибольшее целое число, не превосходящее a.
    В выпуклых множествах с альтернирующим L-разбиением дробныеи целочисленные классы чередуются. В работе [9] предложен критерий альтернируемости L-разбиения:выпуклое замкнутое множество ??Rk имеет альтернирующее разбиение тогда и только тогда, когда для любого дробного L-класса V существуют целочисленные точки z1,z2 ? ? ? Zk ( называемые окаймляющими) такие, что для любого x ? V z1j = z2j = xj, j =1,...,?(x)-1; z2j = [xj]; j = ?(x); z1j = ]xj[; j = ?(x),
    где ]a[ - верхняя целая часть числа a. Ясно, что знак лексикографического сравнения.
    2. Структура L-разбиения
    Исследуем структуру L-разбиения многогранника Mp.
    ТЕОРЕМА. Для произвольного упорядочения переменных многогранник Mp имеет альтернирующую L-структуру .
    Доказательство. Воспользуемся критерием альтернируемости L-структуры. Возьмем произвольный дробный x?Mp. Обозначим через ? произвольную перестановку n2 индексов вектора x, т.е. пар чисел от 1 до n. Тогда ?(i,j) - номер пары (i,j) в перестановке ? .Рассмотрим два случая. ............