Содержание
Введение 3
Основные понятия и определения 4
Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах_ 7
§1. Свойства НОД и НОК_ 7
§ 2. Строение числовых НОД и НОК полугрупп_ 11
Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел со свойствами (*) и (**) 15
Библиографический список 19
Введение В математических исследованиях множество действительных чисел R очень популярно как бескрайний источник простых примеров и как множество, использующееся во многих структурах.
Рассматриваемое в данной работе множество неотрицательных действительных чисел – это интересное легко интерпретируемое подмножество R.
Как известно, различные подалгебры множества R+ (например, полугруппа N) исследовались ранее. В этой работе мы продолжим изучение мультипликативных полугрупп неотрицательных действительных чисел с 0 и 1.
Работа состоит из двух глав. Первая глава содержит некоторые свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного элементов целой полугруппы (§1). В этой же главе говорится о строении НОД и НОК полугрупп. Во второй главе получена топологическая классификация мультипликативных полугрупп SR+, обладающих одним из введенных специфических свойств:
(*) (a<b);
(**) (0<a<b).
Основные понятия и определения
Определение 1. Пусть Х – множество произвольной природы и t – семейство подмножеств Х, называемых открытыми, удовлетворяющее условиям:
1) пересечение конечного числа множеств из t принадлежит t,
2) объединение любого множества множеств из t принадлежит t,
3) и ÆÎt.
Тогда называется топологическим пространством, t – топологией на Х.
Определение 2. Дополнения открытых множеств в Х называются замкнутыми множествами.
Определение 3. Пусть – топологическое пространство и . Введем на множестве Х1 топологию t1. Открытыми в пространстве назовем все множества вида , где U – произвольное открытое множество в Х. Тогда пространство называется подпространством топологического пространства , а топология t1 – топологией, индуцированной топологией t на множество Х1.
Определение 4. Семейство открытых множеств в топологическом пространстве называется базой топологии t, если любое открытое множество в Х является объединением множеств из этого семейства.
Пример. На числовой прямой R с естественной (евклидовой) топологией открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов, они и образуют базу этой топологии. На множестве неотрицательных чисел R+ эта топология индуцирует топологию, в которой открытым множеством будет, например, R+Ç (-1, 1).
Определение 5. Пространство Х1 называется плотным подпространством пространства Х, если любое непустое открытое множество в Х содержит точки множества Х1.
Очевидно, Х1 плотно в Х, если каждая точка подпространства Х1 является предельной точкой множества Х.
Определение 6. ............